Exercice 11. Suite de nombres complexes.
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct et on considère la suite (z_n) de nombres complexes définie, pour tout n entier, par :
z₀ = 2 ; z_n+1 =0,5(1+i)z_n.
On pose A_n le point d’affixe z_n et on définit, pour tout n entier, la suite (u_n) par u_n = |z_n|.
a. La suite (u_n) est géométrique. Vrai.
Démonstration par récurrence :
Initialisation : z₁ =0,5(1+i) x 2 =1+i  ; u₁ = (1²+1²)^½ = 2^½ ; u₁ = 2^½ /2 u₀.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang p : u_p+1 = 2^½ /2 u_p.
z_p+2 =0,5(1+i)z_{p+1 ;} u_p+2 =0,5|1+i| u_{p+1  =}2^½ /2 u_p+1. La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : La propriété étant vraie au rang 1 et héréditaire, alors la suite est géométrique.
b. Pour tout entier naturel n,( z_n+1 −z_n ) / z_n+1 = i. Vrai.
1- z_n / z_n+1 =1-2/(1+i) =  (1+i-2) / (1+i)=(i-1) / (1+i)=(i-1)(1-i) / 2 =i.
c. À partir du rang n = 4, le point A_n appartient au disque de centre O et de rayon R =0,5. Faux.
z_n+1 = 2^½ /2 exp(ip/4) z_n =  (2^½ /2)ⁿ z₀ exp(in p/4). Le module de z_n n'est pas constant.

d. Pour tout entier naturel n, le triangle OA_n A_n+1 est isocèle et rectangle. Faux.

Exercice 12. Géométrie et complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct.
On définit A et B deux points d’affixes respectives z_A = 1 et z_B = 2i et T la transformation complexe du plan qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le point
M′ d’affixe z′ =(z −2i) / z.
a. L’image du point d’affixe exp(ip/4) par la transformation T est le point d’affixe 1+2exp(-ip/4). Faux.

b. L’ensemble des points M du plan complexe tels que OM′ = 1 représente la médiatrice du segment [OB]. Faux.
z' = x+iy ; x²+y²=1. M' appartient au cercle centré en O, de rayon R=1.


c. M′ appartient au cercle de centre A et de rayon 1 si et seulement si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon R = 2. Faux.
Si M' est tel que : (x-1)²+y² = 1, alors :

M appartient au cercle de centre O et de rayon R=2.
Réciproque : si M appartient au cercle de centre O et de rayon R = 2, alors z = x+iy avec x²+y² = 4.


d. z′ est un nombre complexe imaginaire pur si et seulement si le point M appartient au cercle de diamètre [OB]. Vrai.
Si M appartient au cercle de diamètre [OB] : z= x+iy avec x²+(y-1)² = 1 soit x² +y² =2y.

Réciproque : si z' =a i avec a réel, alors :

.

Exercice 8. Notions de base sur les complexes.
Le point A a pour affixe z_A = 1+i. Soit C le cercle de centre O passant par A.
Soit B un point de C d'affixe z_B positive
On définit le point E tel que le quadrilatère OBEA soit un losange.

a. z_A = exp(ip/4). Faux.
Module de z_A : (1²+1²)^½=2^½ ; z_A =2^½ exp(ip/4).
b. z_B = 1,5. Faux.
Le point B appartient au cercle ; son module vaut 2^½.
c. z_E = (1+2^½)+i. Faux.
d. OE = 2 x2^½. Faux.

Exercice 12.  Complexes et géométrie.
Soit (E) l'équation z²-6z+12=0.
a. (E) admet deux solutions complexes z₁ et z₂. Vrai.
Discriminant : (-6)² -4 x12= -12 = 12 i².
z₁ =(6+2 i x3^½) / 2 = 3+i x3^½. z₂ =(6-2 i x3^½) / 2 = 3-i x3^½.
Le discriminant étant négatif, (E) admet deux solutions complexes.
On pose z₁ la solution ayant une partie imaginaire positive.
b.4-z₁ = 2 exp(2ip/3). Faux.
4-z₁ =1-i x3^½. Module de 4-z₁ : ( 1² +3)^½ =2.
(4-z₁ ) /2 = 0,5 -i x3^½ / 2 =sin(5p/6) + i cos(5p/6) =exp(5 i p /6).
Soit A le point d'affixe z_A = 4 et M₁ et M₂ les points d'affixes respectives z₁ et z₂.
 
d. Le point M₁ est situé sur le cercle de diamètre [OA]. Vrai.
Equation de ce cercle centré au point de coordonnées (2 ; 0) : (x-2)² +y² = 4
Si M₁( 3 ;3^½ ) appartient à ce cercle : (3-2)² +(3^½)² = 1+3=4.