Mathématiques, Nombres complexes

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2016.
29. On considère le nombre complexe z = 4+4i, alors un argument de l'opposé de ce nombre complexe conjugué  est, à 2p près :
a. p /4 ;  b. - p /4 ;  c. -3p /4. d. 3p /4. Vrai.


30. On considère le nombre complexe z = 3 (sin q +i cos q), alors un argument de z, à 2p près, est :
a. q ; b. p/2-q Vrai ; ; c. q+p ;  d. q-p.
z = 3(cos(p/2-q) +i sin(p/2-q).

31. On considère le nombre complexe z = -2 exp(2ip/3) alors un argument de z', à 2p près est :
a : 5p/12 ; b : -5p/12 ;  c : 7p/12 ; d : p/12 Vrai.


32. Dans C le trinôme z2-2z+5 admet pour racines :
a : 1+2i et -1-2i ; b : 1+4i et 1-4i ; c : 1+2i et 1-2i Vrai ; d : 1+4i et -1-4i.
Discriminant D = b2-4ac=4-20 = -16 = 16i2.
Solutions : z1 =(2+4i) / 2 = 1+2i et z2=(2-4i)/2 = 1-2i.

33. On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé et on considère l’ensemble E des points M d’affixe z appartenant à C tels que |z-1+2i| =1 et |z-5+i|=3 .
a : E est la réunion de 2 droites.
b : E est la réunion de 2 cercles.
c : E est l’intersection non vide de 2 cercles.
d : Aucune des 3 réponses précédentes n’est exacte. Vrai.


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34. On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé et on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives 1+i, -1-i, 2+i et 2-i. On note E l'ensemble des points d’affixe tels que .
a : E est la droite (AC).
b : E est la médiatrice de [AC]. Vrai.
c : E est la droite(BC)
d : E est la médiatrice de [AD].


35. On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé et on considère les pointsM  d'affixe z tels que z2+3i est un nombre imaginaire pur ; ces points sont situés sur :
a : une droite.
b : les axes du repère.
c : un cercle.
d : la réunion de deux droites différentes des axes du repère. Vrai.
z =x+iy ; z2 =x2-y2+2ixy d'où  x2-y2=0 ; y = ±x .

36. On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé et on considère l’ensemble E des points M d’affixez tels que l'argument de (z+4i) =p/4 à 2p près. Alors :
a : E est une droite.
b : E est la réunion de 2 droites.
c : E est une demi-droite. Vrai.
d : E est la réunion de 2 demi-droites non parallèles.
z = x+iy ; z+4i= x+i(y+4) = cos q + i sin q avec q appartenant à [0 ; p/2 ].
 tan q >0 ;  y+4 / x =p/4 ; y =  p/4 x-4.





2017.
15) On considère le nombre complexe z = 3 i , alors z4 =
A : 81 i
B : -81
C : -81 i
D : 81
z = 3 exp(ip/2) ; z4 = 34 exp(2ip) = 81.

16) Les nombres réels a et b tels que pou tout z complexe, z3 +(2-i) z2 +(1-2i)z-i=(z-i)(z2+az+b) sont :
A) a=-2 et b = 1
B) la = -2 et b =-1
C) a = 2 et b = -1
D) a=2 et b = -1.
(z-i)(z2+az+b)=z3 +(a-i) z2 +(b-ai)z-bi =z3 +(2-i) z2 +(1-2i)z-i.
On identifie : b = 1 ; a = 2.

 17) exp(ip/2) [6exp(ip)+2] / (2i )=
A) -2
B) 2+i
C) 0
D) 2.
exp(ip/2) / i = 1 ; exp(ip) = -1 ; exp(ip/2) [6exp(ip)+2] / (2i )=0,5 (-6+2) = -2.

 18) On considère le nombre complexe z = (2 +2i) / (3½+i), alors un argument à 2 p près de z est :
A) -p /12
B) p /12
C) 5p /12
D) -5p /12
z = (2+2i)( 3½-i) / 2 =(1+i)(( 3½-i)  ; 1+i = exp(ip/4) ; 3½-i =2 exp(-ip/6) ;  z = 2 exp(i(p/4-p/6)) = 2 exp(ip/12).

 19) On considère le nombre complexe z = 5½ exp(3ip/4), alors un argument  de la moyenne arithmétique de z et de son conjugué est
A) 0.
B) p/2
C) p.
D) 3p/2.
z + z  =2 fois la partie réelle de z = 2 x 5½ cos (3p/4) = -10½.

20) On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé. L'affixe du vecteur suivant est :
A) 10 exp(ip/3).
B) 5 exp(-ip/3)
C) 5½ exp(-ip/3)
D) 10 exp(-ip/3).

21) On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé , les images des solutions de l’équation z4=6 sont
A : les sommets d’un triangle équilatéral.
B : les sommets d’un carré.
C : les sommets d’un pentagone régulier.
D : les sommets d’un hexagone régulier.
On pose Z = z2 ; Z2 = 6 : Z= +6½ et Z = i26½
z = ±60,25 et z = ± i 60,25  .