Mathématiques, concours externe TSPEI 2016. Technicien Supérieur Principal de l'Economie et de l'Industrie

Mathématiques, concours externe TSPEI 2016.
Technicien Supérieur Principal de l'Economie et de l'Industrie

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

. .

.
.

Premier problème.
Soit f la fonction définie sur [0 ; 2p] par :
f(x) = sin (x-p/6).
1. Calculer f(0), f(p/6) et f(2p/3).
f(0) = sin(-p/6)= -0,5.
f(p/6)=sin 0 = 0.
f(2p/3).=(2p/3-p/6).=sin(p/2) =1.
2. Etudier les variations de f et donner le tableau de variation.
Dérivée f '(x) = cos (x-p/6).
f '(x) s'annule pour x-p/6 = ±p / 2 + 2kp soit x = 2p/3 et x = 5p/3.

2. Construire la courbe C représentative de f et déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec les deux axes.

Soit r un réel tel que 0 < r < 1.
Soit h la fonction définie sur [0 ; 2p) par :
h(q) = 2-3^½ r / 2 cos q -0,5 r sin q.
3 Calculer en fonction de r : h(0) ; h(p/6) et h(7p/6).
h(0) = 2-3^½ r / 2.
h(p/6) = 2-3^½ r / 2 cos (p/6) -0,5 r sin (p/6)=.2-0,75 r-0,25r = 2-r.
h(7p/6).= 2-3^½ r / 2 cos (7p/6) -0,5 r sin (7p/6)=.2+0,75 r+0,25r = 2+r.
4. Déterminer la dérivée de h et en déduire ses variations.
5. Montrer que la fonction h possède un minimum sur [0 ; 2p]
h(q) = 2-r( 3^½ / 2 cos q +0,5 sin q)=2-r(cos (p/6) cos q + sin (p/6) sin q )=2-r cos(q-p/6).
h'(q) = r sin(q-p/6) ; h'(q) =0 pour q = p/6 et q = 5p/6 .

Dans un repère orthonormé du plan, soit D le disque de centre O et de rayon 1 et (D) la droite d'équation y = 4-3^½x.
Soit M un point de D et soit H le projeté orthogonal de M sur (D).

6. A l'aide des questions précédentes, déterminer le point M de D tel que la distance MH soit minimale.
Distance d'un point M(x, y) à une droite d'équation ax+by+c=0 : |ax+by+c| / (a²+b²)^½.
3^½x.+y -4=0 ; a = 3^½ ; b = 1.
MH = |3^½x+y -4| / 2 =| 3^½ / 2 x +0,5 y -2|.
M appartient au disque : x = r cos q et y = r sin q avec 1 < r < 1 et x² +y² < 1.
MH = =r | 3^½ / 2 cos q +0,5 sin q -2| =r |cos(q-p/6)-2 |= |h(q)|.
MH est minimale lorsque q = p / 6 et r = 1.
7. A l'aide d'un raisonnement géométrique retrouver le résultat précédent.
Le point M(x ; y) doit appartenir au cercle de rayon r = 1.

Deuxième problème.
Soit p un réel appartenant à ]0 ; 1[.

Une pièce de monnaie donne "pile" avec une probabilité p et "face" avec une probabilité q = 1-p. On considère l'expérience aléatoire suivante :
On effectue des lancers successifs de cette pièce. On arrête les lancers si on a obtenu une fois "pile" ou si on a obtenu 10 fois "face" Les lancers sont indépendants et on donnera les résultats en fonction de p ou de q.:
1.a. Quelle est la probabilité d'effectuer un seul lancer ?
Avec un seul lancer, la probabilité d'obtenir "pile" et donc de s'arrêter est p.
1.b Quelle est la probabilité d'effectuer au moins deux lancers.
"au moins 2" signifie deux lancers ou plus.
La probabilité d'effectuer au moins deux lancers et 1-p = q. ( 1 -probabilié d'effectuer un seul lancer).
2. Quelle est la probabilité d'effectuer 10 lancers ?
Les neuf premiers lancers doivent donner face et le dernier pile ou face, peu importe.
La probabilité d'effectuer 10 lancers est q⁹.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers éffectuer.
3. Calculer P(X = k) pour tout entier compris entre 2 et 9.

4. Calculer S(P(X=k) pour k allant de 1 à 10. Commenter.
P(X=1) =p ; P(X = 10) = (1-p)⁹ =q⁹.
S(P(X=k) pour k allant de 1 à 10 : p+p(q +q² +... +q⁸) +q⁹=p(1+q +q² +... +q⁸)+q⁹.
1+q +q² +... q⁸= (1-q⁹) / (1-q).; suite géométrique de raison q et de premier terme 1 :
S(P(X=k) pour k allant de 1 à 10 : p(1-q⁹) / (1-q)+q⁹=1.
On est certain de s'arrêter au bout de 10 lancers.
5. Déterminer l'expression de l'espérance de X en fonction de q.
L'espérance est égale au nombre moyens de lancers avant l'arrêt.
p +2pq+3pq²+....+9 pq⁸+10q⁹.

Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de "pile" obtenus.
6. Quelle est la loi de Y ?
Obtenir une seule fois "pile" provoque l'arrêt.
Obtenir 10 fois "face" donc zéro "pile" provoque également l'arrêt.
Y ne peut prendre que deux valeurs 1 ou 0.
7. En déduire l'espérance de Y.
(1+0) / 2 = 0,5.
On pose Z = X-Y. Caractériser la variable aléatoire Z.
Z = X-1 ou Z = X.
8. Quelle est la loi de Z ? Déterminer son espérance.
Pour Z = X, la loi de Z est celle de X.
Pour Z = X, la loi de Z est celle de X-1 c'est à dire celle de X pour k allant de 1 à 9.

.

menu