La jonction P-N.

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Diffusion d'impuretés.
Pour augmenter le nombre de porteurs mobiles dans le silicium et modifier ses propriétés électriques, on introduit dans le cristal, de façon très précise, des atomes différents du silicium, qu'on qualifie d'impuretés. On dit alors que l'on effectue un dopage et que le semi-conducteur est dopé. Le dopage s'effectue par un phénomène de diffusion qui a lieu à température élevée. Lorsque le système est ramené à température ambiante, les impuretés sont alors figées.
On note c(M,t) la concentration en impuretés en un point M à un instant t.
L'inhomogénéité en concentration entraîne un mouvement des impuretés caractérisé par un vecteur densité de courant de particules
10. En 1885, A. Fick a proposé une loi de diffusion ; elle fait apparaître un coefficient de diffusion D de l'impureté dans le semi-conducteur. Son expression mathématique est :
Interpréter cette loi en précisant les unités de chaque grandeur.
Les impuretés se déplacent des zones les plus concentrées vers celles qui le sont le moins. Il en résulte un courant d'impuretés de sens contraire au gradient de concentration.
D : diffusivité e m2 s-1; jd  : m-2 s-1; c en m-3.
Le semi-conducteur est assimilé à un milieu homogène et on suppose la diffusion unidirectionnelle.

On note c(x,t) la concentration en impuretés.
11. Dans un volume élémentaire de section S et d'épaisseur dx, situé entre les abscisses x et x +dx, effectuer le bilan de matière portant sur les impuretés afin d'établir une relation entre et c(x,t). Ce bilan traduit la conservation du nombre d'impuretés.
Pendant la durée dt :
impuretés entrant dans ce volume : jd (x,t) Sdt
impuretés sortant du volume : - jd (x+dx,t) Sdt.

 12. En déduire l'équation de diffusion.

A l'instant t = 0, la concentration en impuretés est nulle en tout point du semi-conducteur. On note N0 le nombre d'impuretés par unité de surface introduites à partir de l'instant initial en x=0 à la surface du semi-conducteur considéré comme semi-infini de x=0 à x = +oo.
13. On cherche pour t >0, une solution de l'équation de diffusion sous la forme :
c(x,t) = A(t) exp(-x2 / B(t)).
Déterminer les expressions de A(t) et de B(t) en détaillant les calculs.

On admettra par la suite  : c(x,t) = N0 (pDt)-½ exp(-x2 / (4Dt)).
14. Tracer l'allure de la concentration c en fonction de x à deux instants t1 et t2 > t1.

15. A une date t0 fixée, à quelle profondeur d la concentration est-elle moitié de celle en x=0 ? Exprimer d en fonction de D et t0.
Le coefficient de diffusion du phosphore dans le silicium à 1000 °C est D = 3 10-14 cm2 s-1. Calculer d au bout d'une heure.
 c(0, t0) = N0 (pDt0)-½
c(d,t0) = N0 (pDt0)-½ exp(-d2 / (4Dt0))= 0,5 N0 (pDt0)-½.
ln(2)=d2 / (4Dt0) ; d = 2(Dt0 ln(2))½.
d = 2 (3 10-14 x3600 x ln(2))½ =1,73 10-5 cm =173 nm.

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Dopage N et P du silicium.
Si les impuretés augmentent la concentration en électrons libres dans le semi-conducteur, on dit que les impuretés sont de type N et que le semi-conducteur est de type N. l'atome d'impureté se substitue alors à un atome de silicium dans le réseau cristallin en apportant un électron de plus à l'atome qu'il remplace. On note c- la nouvelle concentration en électrons libres et on néglige la concentration en trous.
Si les impuretés augmentent la concentration en trous dans le semi-conducteur, on dit que les impuretés sont de type P et que le semi-conducteur est de type P. L'atome d'impureté apporte un électron en moins que l'atome qu'il remplace dans le réseau cristallin. On note c+ la nouvelle concentration en trous et on néglige la concentration en électrons libres.
16. Déterminer la nature des impuretés utilisées pour réaliser un dopage de type N et un dopage de type P. Donner un exemple pour chaque type de dopage.
Dopage de type N : les impuretés doivent possèder un électron de plus sur leur couche externe. ( phosphore ou arsenic).
Dopage de type P : les impuretés doivent posséder un électron de moins sur leur couche externe ( bore ou aluminium).
17. Exprimer les conductivités électriques s' ( respectivement s") du semi-conducteur dopé N ( respectivement P) en fonction de c- ( respectivement c+), e et µn ( respectivement µp). Calculer les valeurs numériques pour c- = c+ = 5 1014 cm-3. ( 5 1020 m-3 ) Commenter.
s' = -µn e c- =1500 10-4 x1,6 10-19 x5 1020 =12 V A-1 m-1.
s'' = µp e c+ =475 10-4 x1,6 10-19 x5 1020 =3,8 V A-1 m-1.
Ces valeurs sont bien supérieures à la conductivité du silicium pur.
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 La jonction PN à l'équilibre.
On crée une jonction PN en dopant différemment deux parties d'un matériau semi-conducteur, un dopage de type P pour une partie, un dopage de type N pour l'autre.

Les électrons de la partie du semi-conducteur dopée N diffusent dans la partie du semi-conducteur dopée P où la concentration en électrons libres est plus faible. De même les trous de la partie du semi-conducteur dopée P diffusent dans la partie du semi-conducteur dopée N car la concentration en trous y est plus faible. Lorsque la jonction n'est plus traversée par aucun courant, il s'établit alors un état d'équilibre.
  18. Une fois l'équilibre atteint :
- la région [x1 ; 0] avec x1 < 0 est chargée avec une densité volumique algébrique de charge uniforme r1 ;
- la région [0 ; x2 ] avec x2 > 0 est chargée avec une densité volumique algébrique de charge uniforme r2 ;
- en dehors de la zone [x1 ; x2 ], appelée zone de déplétion, la densité de charge volumique est nulle.
Justifier que dans la zone de déflétion, à l'équilibre, les signes des densités volumiques de charges sont respectivement r1 < 0 et r2 >0. Les charges qui la constituent sont-elles fixes ou mobiles ?
Les électrons  du semi-conducteur dopé N diffusent vers la gauche et se combinent aux trous du semi-conducteur dopé P. Il en résulte des cations de charge +e dans la zone dopée N et des anions de charge -e dans la zone dopée P. Dans la zone de déplétion, les charges portées par les ions sont fixes ; il n'y a pas de charges libres.
r1 < 0 ; r2 >0.
19. Etablir, en exprimant la neutralité de la zone de déplétion, une relation entre r1, r2, x1 et x2.
r1 x1 = r2 x2.
20. La présence d'une distribution volumique de charges dans la zone de déplétion se traduit par l'existence d'un champ électrique. Dans le silicium, les lois de l'électrostatiques s'appliquent en remplaçant e0 par e0 er où er est la permitivité relative du silicium. De plus la largeur de la zone de déplétion est très faible devant les dimensions du semi-conducteur. On négligera donc les effets de bords dans les directions orthogonales à l'axe Ox. Justifier que le champe électrique puisse s'écrire dans la jonction.
La distribution de charges reste invariante par une tranlation suivant Oy et Oz. le champ est indépendant de y et z.
La distribution de charges est symétrique par rapport aux plans xOy et xOz ; le champ est donc contenu dans ces plans.
On admet que le champ électrique est nul dans la zone x < x1.
21. Exprimer le champ électrique en tout point puis tracer l'allure E(x) en fonction de x. Justifier alors l'existence d'un équilibre à la jonction.
Appliquer le théorème de Gauss sur les surface S1 et S2 :
S E1(x) = S r1 (x-x1) / (e0 er ) ; E1(x) =  r1 (x-x1) / (e0 er )
S (E2(x) -E2(0))= S r2 x / (e0 er ) ; E2(x) =  (r2 x-r1x1) / (e0 er )= (r2 x-r2x2) / (e0 er ).

Dans la zone de déplétion, le champ électrique est dirigé vers la gauche. Ce champ croît au fur et à mesure de la migration des électrons. Ces derniers sont soumis à une force dirigée vers la droite. C'est l'inverse pour les trous. On aboutit à un équilibre.
 


22. Rappeler la relation entre le potentiel V et le champ électrique en régime stationnaire. Exprimer le potentiel électrique puis tracer son allure en fonction de x On choisit V(x=0) = 0.

23. Exprimer la différence de potentiel Ud = VA2-VA1 entre les bornes A1 et A2 puis la calculer pour r1 = -1,0 102 C m-3, r2 = 3,0 104 C m-3 et x1 = - 1,1 µm.
er = 11,7 SI.
Le champ électrique étant nul en dehors de la jonction, le potentiel y est constant.
Ud = V(x2)-V(x1) = (r2 x22 -r1 x12) /  (2e0er).
x2 =r1 x1 / r2 =1,1 / (3 102)=0,0037 µm.
Ud = (3,0 104 x(3,7 10-9)2+1,0 102 x(-1,1 10-6)2) x 36 p 109 / (2 x11,7) ~0,6 V.
24. La diode à jonction est constituée d'une jonction PN. Représenter le symbole normalisé d'une diode, faire le lien entre ce schéma et les zones P et N de la jonction. Tracer l'allure de la carctéristique courant-tension d'une diode à jonction, en précisant les conventions d'orientations choisies sur le symbole normalisé.


  

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