Physique, objectif Mars. Concours général 2018.

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Quittons notre berçeau !
L'équation fondamentale de l'astronautique  ( équation de Tsiolkovski ) reliant la vitesse instantanée de la fusée v(t) à sa masse m(t) à l'instant t est :.
Dv = v(t) -v0 = ve ln( m0 / m(t)).
m0 : masse initiale de la fusée ; v0 : vitesse initiale de la fusée ; ve : vitesse d'éjection des gaz par rapport au référentiel de la fusée, supposée constante.
Dans cette équation, la fusée n'est soumise qu'à la force de poussée fournie par son moteur. Elle ne tient compte d'aucune autre action extérieure.
Objectif Mars.
 Le lanceur est constitué de 2 propulseurs d'appoint ( les boosters), de deux étages cryogéniques et d'un module d'exploration. Le lanceur sera lancé depuis la surface de la terre et aura pour objectif de mettre un module d'exploration en orbite autour de Mars.
I. D'où décoller depuis la terre ?
Considérons le cas particulier d'un point M décrivant, dans un référentiel donné, une trajectoire circulaire et uniforme. Durant le mouvement, le rayon du cercle CM balaie un angle q pendant la durée Dt, C étant le centre du cercle. La vitesse angulaire de M dans ce référentiel est w  = q / Dt.
On s'intéresse au lanceur juste avant le décollage dans le référentiel géocentrique, référentiel dont l'origine est le centre de la terre et dont les trois axes pointent vers des étoiles lointaines qui paraissent fixes.
On assimile le lanceur à un point matériel M fixe à la surface de la terre de centre O.
1. Quelle est la valeur de la vitesse angulaire W du lanceur dans le référentiel géocentrique ?
Jour sidéral TT = 23 h 56 min 4 s = 86164 s.
La terre accomplit un tour sur elle même en 86164 s.
 W = 2 x3,14 / 86164 ~7,29 10-5 rad s-1.
 2. Exprimer la vitesse v du lanceur dans le référentiel géocentrique en fonction de sa latitude l, du rayon terrestre R et de W.


3. Quelles latitudes faut-il privilégier pour le site de lancement ? Justifier.
Du fait de la rotation de la terre, la vitesse initiale de la fusée est maximale à l'équateur ( l = 0 et cos 0 = 1). Cette vitesse vient s'ajuter à celle imprimée par le lanceur.
II. Décollage.
Le premier étage est un étage cryogénique. Il contient deux réservoirs, l'un de dioxygène et l'autre de dihydrogène, maintenus tous deux à l'état liquide. Injectés dans la chambre de combustion, la réaction de ces deux composés chimiques conduit à la formation de vapeur d'eau qui s'échappe par la tuyère du moteur et propulse le lanceur.
 4. Sur quel principe repose la propulsion du lanceur ?
La propulsion par réaction est basée sur le principe d'action-réaction. La conservation de la quantité de mouvement du système ( fusée + gaz éjectés) implique que l'éjection des gaz vers l'arrière, transmet par réaction une poussée à la fusée vers l'avant.
5. Déterminer les quantités de matière de dioxygène et de dihydrogène contenues dans les deux réservoirs du premier étage.
840 tonnes de dioxygène et 140 tonnes de dihydrogène.
n(O2 ) = 8,4 108 / 32 = 2,625 107 ~2,63 107 mol ; n(H2) = 1,40 108 / 2 = 7,0 107 mol ( en excès).
6. Ecrire l'équation modélisant cette transformation chimique.
O2(g) + 2H2(g) ---> 2H2O(g).
7. Déterminer la masse maximale de vapeur d'eau qui s'échappe pendant la durée de propulsion du premier étage.
n(H2O) = 2 n(O2) =5,25 107 mol.
m(H2O) = 5,25 107 x 18 =9,45 108 g ~9,45 102 tonnes.
8. En supposant que le débit massique de vapeur d'eau du premier étage est constant, montrer que sa valeur est qm = 1,97 103 kg s-1. En déduire la valeur de la poussée du premier étage.
La durée de combustion est égale à 480 s.
 qm =9,45 108  / 480 ~ 1,97 106 g s-1 =1,97 103 kg s-1.
L'impulsion spécifique (Isp) des ergols est égale à 360 s. Cette impulsion spécifique indique la durée pendant laquelle le moteur fournit une poussée égale au poids sur terre des gaz éjectés.
Isp = F / (qm g) ; F = Isp qm g = 360 x1,97 103 x 9,81 ~6,96 106 N = 6,96 103 kN.
9. Quelle est l'accélération initiale du lanceur si les deux boosteurs et le premier étage s'allument ensemble à l'instant t = 0 ? Commenter la valeur obtenue.
La poussée de chaque booster est de 16 000 kN. Masse de la fusée au lancement : 2700 tonnes.
La fusée est soumise à son poids, verticale, vers le bas et et à la pousée totale, verticale vers la haut.
 a = (poussée totale - poids) / masse totale = (3,2 107+6,96 106-2,7 106x9,81) / (2,7 106)~4,62 m s-2.
Cette valeur est voisine de la moitié de l'accélération de peanteur terrestre au niveau du sol



III. La phase de vol vertical.
Durant la première phase de vol ( avant le détachement des boosters), à l'instant t, la masse du lanceur est m(t) et sa vitesse v(t). Les propulseurs d'appoint éjectent des gaz à la vitesse ve supposée constante par rapport au lanceur.
On note dmg la masse de gaz ejectés par le lanceur entre les instants t et t +dt et on définit le débit massique qm = dmg / dt = -dm / dt. On note d = qm / m0 ( m0 : masse initiale du lanceur).
Le débit massique est considéré comme constant. Une fois la totalité des gaz éjectés au bout de la durée T, le lanceur atteint sa vitesse finale vf et sa masse mf et les boosters sont détachés.
Hypothèses : le lanceur a un mouvement rectiligne vertical jusqu'au détachement des boosters ; les effets de l'air et la variation de l'intensité de la pesanteur avec l'altitude sont négligeables.
10. Exprimer m(t) en fonction de m0, d et t.
m(t) = m0 -dmg = m0-qmdt =m0-m0 d dt=m0(1-d dt).
L'équation de Tsiolkovski corrigée s'écrit : v(t) = v0 + ve ln(m0 / m(t)) -gt.
11. Commenter l'expression de cette équation corrigée.
 Dans l'équation, Dv = v(t) -v0 = ve ln( m0 / m(t)), la fusée n'est soumise qu'à la force de poussée fournie par son moteur. Elle ne tient compte d'aucune autre action extérieure. L'équation corrigée prend en compte l'attraction terrestre.
12. Exprimer vf en fonction de g, T, ve, m0 et mf.
vf = v0 + ve ln(m0 / mf) -gT.
3. Sur quels paramètres peut-on agir pour avoir la vitesse de fin de propulsion la plus élevée possible ?
On peur faire croître ve et diminuer T.
On admet que l'altitude de la fusée peut se mettre sous la forme :
z(t) = -½gt2 +v0t +ve / d [-m(t) / m0 ln (m0 / m(t)) +dt] +z0.
14. Déterminer la vitesse d'éjection des gaz à la sortie d'un booster.
ve = Isp g =270 x9,81 ~2,65 103 m /s.
15. Déterminer les valeurs de vf et l'altitude hf atteintes juste avant le détachement des boosters.
vf = v0 + ve ln(m0 / mf) -gT.
Les boosters consomment en premier leur propergol  ( soit 2 x 630 t) durant T =130 s.
m0 = 2700 t ; mf = 2700-2 x 630)=1440 t ; v0 = 0, la fusée est initialement immobile.
vf = 2,65 103 ln(2700 / 1440)-9,81 x130 ~3,91 102 m s-1.
Débit massique des gaz des 2 boosters : poussée / ve = 2 x1,6 107 / (2,65 103)=1,207 104 kg s-1.
d =qm / m0 =1,207 104 / (2,7 106) =4,47 10-3 s-1.
zf = -0,5 x9,81 x1302+2,65 103 /(4,47 10-3) [-1,44 /2,7 ln(2,7 /1,44)+4,47 10-3 x130] = 6,31 104 m ~63 km.
16. Quelles influence sur les valeurs de vf et zf les hypothèses formulées ont-elles ?
L'action de l'air diminue la vitesse de la fusée ; g varie peu sur une altitude inférieure à 60 km, mais diminue ensuite ( ce qui augmente la vitesse calculée et l'altitude atteinte).
17. D'un point de vue qualitatif, quel est l'intérêt d'une fusée à plusieurs étages ?
La fusée à étages s'allège en larguant les réservois vides. Chaque étage démarre avec la vitesse initiale donnée par l'étage précédent. Une fusée à un seul étage ne pourrait pas atteindre la vitesse minimum de satellisation.


IV. Mise en orbite du module d'exploration autour de la terre.
Un module placé en orbite circulaire autour de la terre à une altitude h = 5800 km pourra accuillir jusqu'à 4 astronautes et effectuer des rendez-vous avec des modules de plus grande capacité non encore développés, destinés à faire le trajet vers Mars.
18. Une fois le deuxième étage détaché, en négligeant tout frottement du milieu interstéllaire et l'attraction des autres astres que la terre, on peut supposer que le module de masse m, en orbite circulaire de rayon r autour de la terre, est soumis à une force unique conservative. A quelle force est soumis le module. Rappeler son expression et faire un schéma de la situation.
Le module est soumis à la force de gravitation attractive excercée par la terre.

19. Comment peut être qualifiée l'accélération ? Donner son expression en fonction de G, M R et h puis calculer sa valeur.
L'accélération est centripète.
a = MG /(R+h)2 =5,98 1024 x  6,67 10-11 / (6,370 106 +5,8 106)2=2,69 m s-2.
20. En déduire l'expression de la vitesse v1 du module d'exploration en fonction de G, M, R et h. Calculer sa valeur.
v1 = [GM / (R+h)]½ =[6,67 10-11 x5,98 1024/ (6,370 106 +5,8 106)]½ =5,72 103 m s-1.
Une fois en orbite, le module d'exploration devra mettre en route d'autres moteurs pour se libérer de l'attraction terrestre et se satelliser autour de Mars.
21. Rappeler la définition de l'énergie mécanique d'un point matériel et en déduire la valeur de la vitesse de libération v2 que devra atteindre le module depuis son orbite terrestre à l'altitude h = 5800 km pour échapper à l'attraction terrestre.
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.
E = ½mv2 -GMm/(R+h).
La vitesse de libération est la vitesse qui parmet au satellite d'échapper à l'attraction terrestre et de parvenir en un point infiniment éloigné du centre de la terre avec une vitesse nulle.
½mv22 -GMm/(R+h) = 0.
v22 =2GM / (R+h) ; v2 = [2GM / (R+h)]½=[2 x6,67 10-11 x5,98 1024/ (6,370 106 +5,8 106)]½ ~8,1 103 m s-1.



V. Orbite de trransfert.
La trajectoire consommant le moins d'énergie est une orbite elliptique tangente aux deux orbites coplanaires. Le module initialement en orbite autour de la première planète effectue une trajectoire elliptique, appelée orbite de transfert de Hohmann, dont le soleil est l'un des foyers, jusqu'à se positionner sur une orbite coplanaire autour de la seconde planète.
22. On ne prend en compte que l'attraction solaire sur le module. Le module décrit une trajectoire de transfert de Hohmann depuis la terre jusqu'aux abords de Mars. Déterminer l'angle terre-soleil-mars au moment de l'allumage des fusées du module lorsqu'il est encore en orbite autour de la terre et le temps que mettra ce module pour parcourir la trajectoire de Hohmann.

 On suppose que les deux planètes décrivent un mouvement circulaire et uniforme pendant le temps du voyage.
Le satellite parcourt la moitié de l'ellipse de transfert. La durée du parcours est la moitié de la période de révolution T sur l'ellipse. La troisiéme loi de Kepler donne la période T en fonction de r1 et r2.
T2 =4 p2 ((½1+½r2)3 / (GMSoleil )=4 x3,142(75 109 +114 109)3 / (6,67 10-11 x1,99 1030) ~2,0 1015 ; T ~ 4,5 107 s ;  ½T =2,24 107 s ou 259 jours ou environ 0,71 an.
La 3ème loi de Kepler appliquée à Mars conduit à : Mars accomplit une orbite complète de 360° en 1,88 an.
Durant cette durée Mars décrit l'angle ß = 0,71 *360 / 1,88 = 135°.
a+ß = 180° d'où a = 180-135 ~45°.

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