Les rayons X et la radiographie, Capes physique chimie 2016.

On obtieent des rayons X par bombardement de la matière, généralement un métal, par des électrons. Lors de l'interaction, l'électron pénètre dans le métal de la cible où il subit une décélération brutale. La perte d'énergie cinétique de l'électron est convertie à 99 % en énergie thermique et à 1 % en rayonnement X.
1. Justifier l'allure du spectre du rayonnement émis par un tube à rayons X.

Le fond continu est dû au rayonnement de freinage. Le spectre de raies d'émission est dû au réarrangement du cortège électronique des atomes de la cible.
2. Illustrer par un schéma l'effet Compton.
Lorsqu'un photon X passe à proximité d'un électron périphérique peu lié à l'atome, l'énergie du photon est en partie transmise à l'électron : ce dernier est arraché de l'atome et s'échappe avec une certaine énergie cinétique. Le reste de l'énergie se retrouve sous la forme d'un photon X de direction différente et d'énergie inférieure.
La probabilité d'interaction par un effet Compton ne dépend pas du numéro atomique.
L'effet Compton est prépondérant dans les tissus organiques avec des photons X de grande énergie.

Le filament de tungstène d'un tube de Coolidge est assimilé à un fil cylindrique de rayon r et de longueur L enroulé en hélice. En régime permanent, il est parcouru par un courant électrique d'intensité I, et sa température, constante, est notée T. La résistivité du tungstène est notée r.
la loi de Stefan donnant la puissance rayonnée par unité de surface pour un corps porté à la température T s'écrit : P = s T⁴.
r = 50 µm ; s = 5,67 10^-8 W K^-4 m^-2.
A haute température ( 2350°C) r = 7,75 10^-7 W m.
3. Etablir, en régime permanent, l'expression suivante : r I²/ (p² 2r³) = s T⁴.
Section du fil : S = pr² ; résistance électrique du fil : R = r L / S = r L / (pr²).
Puissance dissipée par effet Joule dans le filament : P = RI² = r I² L / (pr²).
Puissance rayonnée : s T⁴(2 p r L).
En régime permanent : s T⁴(2 p r L) = r I² L / (pr²).
r I²/ (p² 2r³) = s T⁴.
Calculer l'intensité du courant qui parcourt le filament lorsque sa température est de 2350 °C.
I² = s T⁴ p² 2r³/ r =5,67 10^-8 x(2350 +273)⁴ x3,14² x2 x (50 10^-6)³ /(7,75 10^-7) =8,545 ; I =2,9 A.
4. Extrait du cours Bases physiques des rayons X : " A condition d'appliquer une ddp suffisante entre anode et cathode, l'intensité du courant dépend uniquement de la température et donc du courant de chauffage du filament ( région de saturation)".
la formulation de cette phrase présente une difficulté pour le lecteur. Laquelle ? Proposer une nouvelle rédaction de cet extrait de cours qui permettrait de lever cette difficulté.
L'acronyme " ddp" et l'ambiguité entre intensité du courant et courant de chauffage sont à éclaircir.
A condition d'appliquer une tension suffisante entre anode et cathode, le courant d'électrons entre les électrodes dépend uniquement de la température et donc du courant électrique de chauffage du filament.
5. Calculer les valeurs des vitesses des électrons à leur arrivée sur l'anode, pour les tensions suivantes 45 kV, 70 kV et 120 kV. Commenter.
La vitesse initiale des électrons est négligeable. Le poids des électrons est négligeable devant la force électrique.
Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre anode et cathode ; ½mv² = eU ;
v = (2eU / m)^½= (2 x1,6 10^-19 /(9,1 10^-31)^½ U^½ =5,9 10⁵ U^½.
5,9 10⁵x 45 000 ^½ =1,3 10⁸ m /s.
5,9 10⁵x 70 000 ^½ =1,6 10⁸ m /s.
5,9 10⁵x 120 000 ^½ =2,0 10⁸ m /s.
La vitesse des électrons croît quand la tension augmente. La vitesse de électrons étant de l'ordre de 10⁸, un calccul relativiste aurait été plus précis.
A propos de l'absorption des rayons X avec la matière.
Le faisceau de rayons X, de direction Ox, est constitué d'un flux homogène de photons. Les phénomènes de diffraction et de diffusion sont négligés. La couche de matière d'épaisseur dx et de surface S est constituée d'un seul type d'atome. Le matériau possède une masse volumique r et une masse molaire M.
6. Exprimer le nombre dN d'atomes contenus dans ce volume en fonction de M, r, S et dx et de la constante d'Avogadro N_A.
Volume de cette couche : S dx ; masse correspondante : r S dx.
Quantité de matière d'atomes : rSdx / M ; dN = N_A rSdx / M.
On suppose dx suffisamment petit pour que tous les atomes de la couche soient contenus dans un même plan et on appelle r_a le rayon de ces atomes. On appelle N(x) le nombre de photons incidents du faisceau de rayons X, traversant la section S du faisceau incident par unité de temps et N(x+dx) le nombre de photons transmis au-delà de la couche d'épaisseur dx, par unité de temps.
7. Proposer un modèle simple de l'absorption permettant d'expliquer la variation de N entre x et x+dx.
Un rayon X est absorbé s'il percute un atome. La probabilité d'absorption d'un rayon X est : pr_a² / S.
8. En utilisant le modèle précédent, exprimer N (x+dx) en fonction de n(x), r, M, r_a, N_A et dx et montrer que l'équation différentielle vérifiée par N(x) s'écrit : dN /dx +p r_a² N_A / M r N = 0.
N(x+dx) = N(x) ( 1-dNpr_a² / S).
De plus N(x+dx) = N(x) +dN(x).
dN(x) / dx + N(x) dNpr_a² / S=0.
dN(x) + N(x) N_A rSdx / M pr_a² / S=0.
dN(x) + N(x) N_A r dx / M pr_a² =0.
dN(x) /dx+ N(x) N_A r / M pr_a² =0.
On pose N(x=0)= N₀ et µ =N_A r / M pr_a² , coefficient d'absorption.
la coordonnée x=0 correspond à l'entrée du matériau.
dN(x) / dx +µ N(x) = 0.
9 . Donner la solution de cette équation différentielle.
N(x) = N₀ exp(-µx).
A partir du modèle simplifié de l'atome, on montre que l'on peut exprimer le rayon r_a par la relation : r_a = -Z²e² / (4 pe₀ E₁).
E₁ : énergie du niveau fondamental et Z : numéro atomique.
10. Justifier que, pour la plupart des éléments, le rapport M / Z vaut approximativement 2 g / mol.
Les éléments chimiques les plus légers ( H excepté) possèdent un nombre de protons égal au nombre de neutrons.
M = (N+Z )m_proton N_A ~2 Z M(H)=2 Z ; M / Z ~ 2 g / mol.
Comparer l'expression de µ du modèle proposé au coefficient d'absorption pour l'effet photoélectrique
µ_{photoélectrique}= C r Z³ / E³ avec r masse volumique du milieu traversé, Z numéro atomique du milieu traversé, E énergie des photons et C une constante.
µ =N_A r / M pr_a²=N_A r / M p(-Z²e² / (4 pe₀ E₁).)² = N_A r / (2Z) p(-Z²e² / (4 pe₀ E₁).)² =C' r Z³ / E₁².
C' est une constante.
Les deux expressions indiquent que le coefficient d'absorption est prroportionnel à la fois à la masse volumique du milieu et au cube du numéro atomique de l'élément chimique constituant ce milieu.
Par contre seul µ_{photochimique} dépend de l'énergie des photons X.