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Exercice 1 ( 10 points).
Plusieurs
projets de train à très haute vitesse et à propulsion électromagnétique
sont à l'étude. Les wagons ont une forme cylindrique et sont propulsés
dans un tube à faible pression afin de réduire les frottements.
Objectif : atteindre en moins de 2 minutes une vitesse instantanée de
400 km /h.
On note f(t) la distance parcourue par le wagon, en km, à l'instant t
en minute. On suppose que f est une fonction de la variable t
définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 3 ].
A. Résolution d'une équation différentielle.
y' -0,2y = 3t (E).
y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur [0 ; +oo[.
y' est la dérivée de y.
1. Résoudre sur [0 ; +oo[ l'équation différentielle y' -0,2 y = 0.
y = A e0,2t avec A une constante..
2. Vérifier que la fonction g, définie sur [0 ; 3] par g(t) = -15t -75 est une solution de E.
g'(t) = -15 ; repport dans (E) :
-15-0,2(-15t -75)=-15+3t+15 = 3t
3. En déduire l'ensemble des solutions de (E).
f(t) = A e0,2t -15t-75.
4. Au temps t = 0, le wagon est au point de départ. Déterminer la fonction f solution de (E) vérifiant la condition f(0) = 0.
A e0 -75 = 0 soit A = 75.
f(t) = 75 (e0,2t -1)-15t.
B. Etude de fonction et application.
On considère la fonction f définie sur [0 ; 3] par : f(t) = 75 (e0,2t -1)-15t.
On désigne par C sa courbe représentative. On donne sa dérivée : f '(t) = 15e0,2t -15.
1.a. Résoudre sur [0 ; 3) l'inéquation f '(t) > 0.
15e0,2t -15 > 0 ; e0,2t > 1 ; 0,2t > ln 1 ; 0,2 t > 0 ; t > 0.
f '(t) > 0 sur [0 ; 3 ].
1.b. En déduire les variations de la fonction f sur cet intervalle.
f est strictement croissante sur [0 ; 3 ].
2. Déterminer le nombre de kilomètre parcourus au bout d'une minute. Arrondir le résultat au dixième.
f(1) = 75(e0,2-1)-15 = -90 + 75 e0,2 ~1,6 km.
3.a.
La vitesse d'un wagon en km / min, à l'instant t, correspond à f '(t).
En déduire la vitesse d'un wagon à t = 2. Arrondir au dixième.
f '(2) = 15e0,4 -15~7,377 ~7,4 km / min.
3.b L'objectif est-il atteint ? Justifier.
7,377 x 60 = 442 km /h, l'objectif est atteint.
4. QCM.
Une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2 est :
y = 15(e0,4-1)t ; y = 15(e0,4-1)t +45e0,4 ; y = 15(e0,4-1)t +45e0,4 -75. (exact).
Coefficient directeur de cette tangente T : f '(2) = 15(e0,4-1)
Equation de T : y = 15(e0,4-1) t + b.
T passe au point de coordonnées ( 2 ; f(2) ).
f(2) = 75 (e0,4 -1)-30 =75e0,4-115.
75e0,4-115= 30(e0,4-1) + b.
b = 45e0,4 -75.
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4. Calcul intégral. QCM.
Afin d'aménager
les futures gares dédiées à ce train, les architectes ont dessiné la
pièce suivante : (unité graphique 1 m sur les deux axes ).
La pièce est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
Le bord supérieur correspond à la droite d'équation y = 2.25.
Le bord inférieur droit correspond à la fonction g définie sur l'intervalle [ 0 ; 3 ] par g(x) =27x / (2x2+18).
1. L'aire du rectangle OPQR, en unité d'aire, est égale à :
3 ; 5,25 ; 6,75. (exact).
A1 = 3 x2,35 = 6,75 m2.
2. Un logiciel de calcule formel donne une primitive de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 3 ].
G = 27 / 4 ln(x2+9) +c1 ; c1 est une constante.
Calculer l'aire A2 de la partie du plan limitée par la
courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les
droites d'équations x=0 et x = 3.
A2 = G(3) -G(0) = 27 / 4 [ ln(32+9) - ln(32+9)] = 27 / 4 [ ln(18)-ln(9)] = 27 / 4 ln(18 / 9) = 27 / 4 ln 2~4,679 m2.
3. Déduire des questions précédentes, l'aire hachurée. Arrondir au millième.
A = 2 (A1-A2) = 2 (6,75 -4,679) ~4,143 m2.
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