Mathématiques, fonction, nombres complexes, Bac S Inde 2018

Exercice 1 ( 6 points).
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1000 °C. A la fin de la cuisson, il est éteint et refroidit. On s'intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute à l'instant où il est éteint. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 70°C.
Partie A.
On note T_n la température du four au bout de n heures écoulées à partir de l'instant où il est éteint. On a donc T₀ = 1000 °C. T_n est calculée par l'algorithme suivant :
T <--- 1000.
Pour i allant de 1 à n
T <---0,82 T+3,6
Fin Pour.
1. Déterminer la température du four, arrondie à l'unité près, au bout de 4 heures de refroidissement.
T₁ = 820 +3,6=823,6 °C.
T₂ = 0,82 x823,6 +3,6 = 678,952 °C
T₃ = 678,952 x0,82 +3,6 =560,34°C.
T₄ = 560,34 x 0,82 +3,6 =463,1 ~463°C.
2. Démontrer que pour tout entier n, on a : T_n = 980 x0,82ⁿ +20.
Initialisation : T₁ = 980 x0,82 +20 = 823,6°C.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang p : T_p = 980 x0,82^p +20.
T_p+1 = 0,82 T_p +3,6 =0,82 x980 x0,82^p +20 = 980 x0,82^p+1 +20. La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n.
3. Au bout de combien d'heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
70 > 980 x0,82ⁿ +20 ; 50 / 980 > 0,82ⁿ;
ln(50 / 980) > n ln(0,82) ; n > 14,99 ; n >15 heures.
Partie B.
On note t le temps en heures écoulé depuis l'instant où le four est éteint. La température du four est donnée par f(t) = a exp(-t / 5) +b, pour tout t positif ; a et b sont deux nombres réels. On admet que f vérifie la relation suivante : f '(t) +f(t) / 5 = 4.
1 Déterminer a et b.
f '(t) = -a / 5 exp(-t/5) ; f(0) = 1000 ; f '(0) = -a / 5 ; -a / 5 +1000 / 5 = 4 ; a = 980.
f(0) = 1000 = a exp(0) +b = 980 +b ; b = 20.
Pour la suite, on admet que f(t) = 980 e^(-t/5) +20.
2.a. Déterminer la limite de f quand t tend vers l'infini.
Le terme en exponentielle tend vers zéro si t tend vers plus l'infini ; f(t) tend donc vers 20°C quand t tens vers plus l'infini.
2.b. Etudier les variations de f et en déduire son tableau de variations..
f '(t) = -980 / 5 exp(-t/5) = -196 exp(-t/5).
Le terme en exponentielle étant toujours positif, f '(t) est négative et f(t) est strictement décroissante.

2.c. Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
980 e^(-t/5) +20 < 70 ; e^(-t/5) < 50 / 980 ; -t / 5 < ln(50 / 980) ; t > 5 ln(980 / 50) ; t >14,8776 heures soit environ 893 minutes.