Fonction, équation différentielle. BTS groupe C 2017

Antilles Métropole.
En sylviculture, le cubage des arbres est uneactivité essentielle qui consiste à chiffrer régulièrement des volumes de bois, qu’ils soient abattus ou encore sur pied.
Afin d’éviter toute contestation entre les différents acteurs du secteur, exploitants et négociants, le cubage des bois est régi par les normes AFNOR NF B 53−020 et NF B 53−017.
En fonction de leur destination, on distingue plusieurs types de bois, parmi lesquels:
- Le bois d’oeuvre (BO), partie du tronc dont le diamètre est supérieur à 20 cm, destinée, en fonction de l’essence, à la construction (charpente, bardage), la menuiserie ou l’ébénisterie.
- Le bois fort (BF), partie de l’arbre (tronc et branches) dont le diamètre est supérieur à 7 cm.
Le bois fort est donc le bois d’oeuvre auquel s’ajoute toute une partie de l’arbre valorisable
dans l’industrie (trituration, papeterie, chauffage, . . . ).
On s’intéressera, dans la suite, uniquement à l’étude du bois fort.
Le but de l’exercice est d’anticiper la croissance d’un plant de Douglas (une des deux
essences d’arbre les plus cultivées en France pour ses remarquables propriétés mécaniques).
Les arbres étudiés dans cet exercice ont dix ans ou plus.
Partie 1 :Modèle statistique.
Le tableau suivant donne le volume de bois fort, en m³, d’un plant de Douglas, en fonction de son âge, exprimé en années :

t ( années)	10	20	30	50
V (m³)	0,09	0,19	0,51	2,11
Q=ln(7/V -1)	4,34	3,58	2,54	0,84

Une première méthode pour anticiper la croissance de ce plant de Douglas consiste à étudier le coefficient Q = ln( 7 / V −1)¶.
1. Compléter ce tableau (arrondir à 10⁻² près).
2. Représenter le nuage de points de la série statistique constituée des deux variables t et Q.

3. On s’intéresse à l’ajustement affine de Q en t par la méthode des moindres carrés.
On obtient sur l’écran d’une calculatrice :
a = -0,088616 ; b = 5,2629789 ; r =-0,9990631 ; y=ax+b.
Donner une équation de la droite d’ajustement de Q en t par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à 10⁻³ près).
y = -0,0886 x +5,263.
4. Déterminer, en utilisant cet ajustement, la valeur prévisible de Q lorsque t = 80.
Q = -0,0886 x 80 +5,263 = -1,825 ~-1,83.
5. Quel volume de bois fort peut-on espérer tirer de ce plant de Douglas lorsqu’il aura 80 ans ?
ln(7 /V-1) = -1,825 ; 7 /V =1 +e^-1,825 =1,161 ; V = 7 /1,161 = 6,03 m³.

Partie 2 :Modèle dynamique.
Une autre approche de l’étude de la croissance d’un arbre, c’est-à-dire de son volume de bois fort, consiste à déterminer d’abord la fonction f définie par f (t )= 1 /V (t )
où V (t ) désigne le volume de bois fort pour un arbre âgé de t années.
Dans la suite de l’exercice, on s’intéresse aux valeurs de t supérieures ou égales à 10.
Dans cette modélisation, on admet que cette fonction f est une solution particulière d’une équation différentielle de la forme : y′ +0,088y = b.
Dans cette équation, y désigne une fonction définie et dérivable sur [10 ; +∞[.
0,088 est un coefficient adapté à tous les Douglas et b est un réel qui dépend de la qualité du plant étudié et des conditions de culture.
Dans toute la suite, on considère le plant de Douglas étudié dans la partie 1, dont le volume de bois fort est donné par le premier tableau de la partie 1.
1. L’utilisation d’un logiciel a permis de représenter les volumes de bois fort en fonction du temps t pour différents plants de Douglas, c’est-à-dire pour différentes valeurs du réel b.
Parmi les courbes données, l’une d’entre elles représente le volume V de bois fort du plant de Douglas étudié. Expliquer pourquoi on peut choisir 0,012 comme valeur de b pour ce plant
de Douglas.

A t = 50 ans, V ~2,1 m³ ( courbe verte).
2. On appelle (E) l’équation différentielle : y′ +0,088y = 0,012.
a. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E₀) : y′ +0,088y = 0.
y = A exp(-0,088t) avec A une constante.
.b. Démontrer que la fonction constante g , définie sur [10 ; +∞[ par g (t ) =0,012 / 0,088
est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
g'(t) = 0 ; repport dans (E) : 0,088 g(t) = 0,012 ; g(t) = 0,012 / 0,088.
c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
f(t) = A exp(-0,088t) +0,012 /0,088.
d. Calculer f (10) puis déterminer la solution particulière f de cette équation (E) concernant le plant de Douglas étudié.
f(10) = 1 / V = 1 /0,09 ~11,1 m^-3.
f(10)=A exp(-0,88) +0,012 /0,088=11,1.
0,4148 A +0,1364 = 11,1 ; A =26,46.
f(t) = 26,46 exp(-0,088t) +0,012 /0,088.