Loi exponentielle, loi binomiale, loi normale.
BTS groupe B 2017.

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Antilles Métropole.
Une entreprise demétallurgie conçoit des pièces pour l’industrie aéronautique.
A. Loi exponentielle.
Cette entreprise fabrique un certain type de plaques métalliques destinées à la conception des carlingues d’avion. Une machine permet de découper ces plaques métalliques. de manière autonome. Cette machine nécessite d’être étalonnée régulièrement.
On considère que la durée de bon fonctionnement, exprimée en heure, entre deux étalonnages, est modélisée par une variable aléatoire T de loi exponentielle de paramètre λ = 2×10−4.
On rappelle que :
-pour tout nombre réel positif t , on a P(T < t ) = 1−e−λt ,
- l’espérance E(T ) de la variable aléatoire T est égale à E(T )= 1/λ..
1. Déterminer P(T <2000).
P(T <2000) =1-exp(-2 10-4 x2000) =0,3298 ~0,33.
2. Déterminer la probabilité que la durée de bon fonctionnement de cette machine dépasse 10 000 heures.
P(T >10000) =exp(-2 10-4 x10000) =0,1353 ~0,14.
3. Calculer E(T ) puis interpréter ce nombre dans le contexte.
E(t) = 1 / (2 10-4) =5,0 103 heures.
La durée moyenne de fonctionnement de la machine entre deux réglages est de 5000 heures.
B. Loi binomiale et approximation par une loi normale.
L’entreprise fabrique également des billes d’acier destinées à l’élaboration de roulements à billes. On suppose que 0,5% des billes fabriquées en usine présentent un défaut de fabrication.
On prélève au hasard un échantillon de 1 000 billes dans l’ensemble de la production (la production est assez importante pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise de
1 000 billes).
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de billes qui présentent un défaut de fabrication.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Prélever une bille est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,005, valeur constante ( correspondant  au succès, la bille présente un défaut).
Les 1000 épreuves de Bernoulli sont identiques et indépendantes. X suit une loi binomiale de paramètre n = 1000 ; p = 0,005 et q = 1-p = 0,995.
2. a. Calculer p(X = 0). Interpréter le résultat obtenu.
P(X=0) =C01000 q1000 p0 =0,0051000 =0,00665 ~0,0067.
La probabilité que toutes les billes soient sans défaut dans un échantillon de 1000 pièces est égale à 0,0067.
b. En déduire la probabilité qu’au moins une bille de l’échantillon présente un défaut de fabrication.
P(X>1) = 1 -p(X=0) = 1-0,00665 =0,9933 ~0,993.
3. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de moyenne 5 et d’écart type 2,2.
On note Y une variable aléatoire suivant cette loi normale.
a. Justifer les valeurs des paramètres de cette loi normale.
Moyenne µ = n p = 1000 x0,005 = 5 ; écart type s = (npq)½ =(1000 x0,005 x0,995)½~2,2.
b. Déterminer, à l’aide de cette approximation, la probabilité qu’il y ait au plus 7 billes présentant un défaut de fabrication dans le lot de 1 000 billes, c’est-à-dire calculer P(Y <7,5).
On pose Z = (Y-µ) / s =(7,5-5) / 2,2 = 1,136.
Z suit la loi normale centrée réduite.
La calculatrice ou les tables donnent P(Z) <1,136) = 0,872.




C Test d'hypothèse.
On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler la moyenne µ de l'ensemble des diamètres ( en mm) des billes constituant la prochaine livraison.
On note Z la variable aléatoire qui, à chaque bille prélevée au hasard dans la livraison, associe son diamètre en mm. Z suit une loi normale de moyenne inconnue et d'écart type s = 0,15.
On désigne par Zmoyenne la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 billes prélevées dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces billes. la livraison est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ces prélevements à des tirages avec remise.
L'hypothèse H0 est : la moyenne est µ=55, dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre. L'hypothèse alternative H1 est : µ diffère de 55.
Le seuil de signification du test est fixé à 5 %.
On admet que sous l'hypothèse H0, Zmoyenne suit la loi normale de moyenne 55 et d'écart type 0,015 / 100½ =0,015. On souhaite déterminer le réel h tel que P(55-h < Zmoyenne < 55 +h)=0,95.
 1. La valeur approchée de h arrondie au centième est : 0,02 ; 0,03 ; 0,04.
h = 1,96 x0,015 = 0,0294 ~0,03.
2. Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
On détermine la moyenne puis on vérifie que celle-ci appartient à l'intervalle [54,97 ; 55,03].
Si la moyenne figure dans cet intervalle, l'hypothèse H0 est retenue ( avec un risque d'erreur de 5 %) sinon on retient H1.
3. On prélève un échantillon aléatoire de 100 billes dans la livraison. La moyenne des diamètres des 100 billes est 55,06 mm. Quelle est la conclusion du test ?
55,06 mm est en dehors de l'intervalle [54,97 ; 55,03]. L'hypothèse H1 est retenue.
Au risque d'erreur de 5 %, la moyenne des diamètres des billes diffère de 55 mm.









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