Etude des bulles de champagne. Concours général  2016.

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Il n’est pas rare de discuter des bulles de champagne lors de sa dégustation : on leur confère un gage de qualité, particulièrement lorsqu’elles sont fines. Cette partie s’attache à expliquer l’origine de ces bulles, mais également les paramètres qui influent sur leur forme.
II.1) Mécanisme de formation des bulles au sein du liquide.
a) Loi de Henry et dioxyde de carbone.
Lorsqu’un gaz est mis en contact avec un liquide, une partie de ce gaz se dissout dans le liquide. Si on note Pi la pression de l’espèce chimique en phase gazeuse et ci sa concentration molaire dans la phase liquide, ces deux grandeurs suivent, à l’équilibre, une relation de proportionnalité appelée loi de Henry : ci = kHPi (4)
où kH s’appelle la constante de Henry dont la valeur dépend fortement de la température, suivant la loi : kH = k0 exp(a / T) (5)
avec k0 = 9,4·10−6 mol·L−1·bar−1, a = 2 405 K et T la température s’exprimant en kelvin.
Lorsque la concentration molaire dépasse celle prévue par la loi de Henry, le liquide est dit sursaturé, il doit évacuer une partie du gaz dissous pour retrouver un nouvel état d’équilibre qui vérifie la loi de Henry.
26. Expliquer en quoi il serait dangereux de laisser une bouteille de champagne dans une voiture en plein été de manière prolongée.
La température à l'intérieur de la voiture peut atteindre 50°C soit  273+50 = 323 K.
kH = 9,4·10−6 exp( 2405 / 323) =0,016  mol·L−1·bar−1 ; KH diminue si la température croît.
ci = 0,016 Pi  ; la pression du gaz au dessus du liquide va croître et le bouchon va sauter.
27. Évaluer la concentration massique en dioxyde de carbone dissoute dans une bouteille de champagne fermée à une température de 20 C.
kH = 9,4·10−6 exp( 2405 / 293) =0,0345 mol·L−1·bar−1.
ci = 0,0345 Pi avec Pi ~ 6,0 bar.
ci = 0,0345 *6,0 0,207 ~0,21 mol/L.
M(CO2) =44 g/mol ; titre massique en CO2 : 0,207*44 = 9,1 g/L.
 28. Expliquer en quoi l’ouverture de la bouteille implique a priori la formation des bulles au sein du liquide.
A l'ouverture de la bouteille, Pi diminue et en conséquence ci : une partie du gaz carbonique va s'échapper du liquide sous forme de bulles, le champagne étant sursaturé en dioxyde de carbone. .
b) Localisation des pouponnières de bulles.
À l’ouverture d’une bouteille de champagne, pour que des bulles grossissent dans le champagne, il faut nécessairement que des embryons de bulles de rayon supérieur au rayon critique ( 0,2 µm)
préexistent au sein de la phase liquide.
29. Qu’est-ce que l’interaction de Van der Waals ? Citer un exemple où son effet est observable. Quelles autres forces d’interactions connaissez-vous au sein de liquides ?
Au sein des milieux liquides, les forces de Van de Waals sont des interactions dipôlaires ( interaction dipôle permanent / dipôle permanent ou dipôle induit). Elles diminuent rapidement avec la distance.
Interactions coulombiennes entre charges électriques.
Liaisons hydrogène, interaction dipôle / dipôle entre un atome d'hydrogène lié à un atome fortement négatif et un atome porteur d'un doublet non liant.
 30. Expliquer, en justifiant, le mécanisme de formation des bulles au sein d’une flûte de champagne.
Des particules, fibres de cellulose, microcristaux d'acide tartrique, sont présents dans le champagne. De minuscules bulles d'air sont piégées dans les anfractuosités de ces particulesau moment de verser le champagne. La pression de l'air dans ces microbulles, étant inférieure à celle du dioxyde de carbone dissous, ce dernier y diffuse. La bulle gonfle lors de cette diffusion, puis lorsqu'elle atteint la taille critique, elle s'échappe.
31. Estimer la fréquence d’émission des bulles.

Extrait de « Pour la Science, Août 2010 » de Gérard Liger-Belair, Régis Gougeon et Philippe Schmitt-Kopplin
Dix millisecondes séparent deux clichés successifs : 40 ms séparent  la formation de deux bulles.
Fréquence = 1 / 0,040 = 25 Hz.




II.2) Montée des bulles.
a) Approche théorique.
On cherche à étudier la trajectoire des bulles une fois en liberté au sein du liquide de masse volumique rliq= 1,00 g·cm−3 = 1,00 103 kg m-3. On se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, auquel on adjoint un repère d’espace axe vertical orienté vers le haut. Lors de la montée, la bulle de rayon r = 1,0 mm et de masse constante est soumise, outre son poids, à :
• la poussée d’Archimède, notée P, égale à l’opposé du poids d’un volume d’eau équivalent au volume de la bulle ;
• une force de frottement fluide, appelée force de Stokes, traduisant la résistance de l’eau, de norme f = 6 p r h v où h=1,3 10-3 Pa s, viscosité du champagne à la température T = 298K et v la vitesse de la bulle.
32. Montrer que le poids de la bulle est négligeable devant la poussée d’Archimède. On supposera que la pression de CO2 dans la bulle vaut PCO2 = 1,00 bar.
Volume d'une bulle : V = 4 /3 p r3 =4 / 3*3,14 *10-9 ~4,2 10-9 m3.
Poussée d'Archimède : P = Vrliqg = 4,2 10-9 *1000 *9,8 ~4,1 10-5 N.
Quantité  de matière de CO2 dans une bulle : n = PV /(RT) =105 * 4,2 10-9 /(8,314*293)=1,7 10-7 mol
Masse d'une bulle : m = MCO2 n = 0,044*1,7 10-7 =7,6 10-9 kg  ; poids : mg ~7,4 10-8 N.
Le poids est environ  500 fois plus faible que la poussée.
Remarque rCO2 = PMCO2 / (RT) =105*0,044/(8.314*293)=1,8 kg m-3.
33. En appliquant la deuxième loi de Newton à la bulle, établir l’équation différentielle vérifiée par la bulle. 

34. Quelle est la dimension de t Justifier.
[dv / dt] =L T -2 ; [v / t] = L T -2 ; [v] = L T-1 ;   t a la dimension d'un temps.
35. En supposant que la vitesse initiale de la bulle est nulle, cette équation admet pour solution :
v (t) = vlim (1-exp(-t / t).
Représenter l’allure du module de la vitesse v en fonction du temps et donner une interprétation physique de t.
t est la constante de temps caractérisant la montée de labulle. Au bout de 5 t, la vitesse limite est atteinte.

36. Calculer la valeur numérique de t. Quelle approximation peut ainsi être effectuée ?
t = rCO2r2 / (4,5 h )= 1,8 10-6 /(4,5*1,3 10-3)=3,1 10-4 s.
La montée de la bulle est très rapidement uniforme.









b) Confrontation expérimentale.
L’émission des bulles se fait la plupart du temps de manière périodique, ce qui rend l’étude plus aisée. La méthode expérimentale utilisée par Gérard Liger-Belair et son équipe du laboratoire d’OEnologie de Reims en 1999 est présentée ci-dessous.

Ils ont cherché à photographier un train de bulles dans une flûte de champagne à un instant donné en se servant d’un appareil photographique dont l’ouverture du diaphragme est synchronisée avec un flash. Un écran en plastique est interposé entre le verre et le flash afin d’homogénéiser la lumière. Les distances sont étalonnées à l’aide d’un papier millimétré collé à la surface du verre. Enfin, on utilise un stroboscope, appareil émettant à intervalles de temps régulier des éclairs de lumière à une fréquence fb bien choisie.
La figure 4 (b) constitue un exemple de cliché obtenu. À noter que les bulles n’ont pas un rayon constant, ce phénomène sera étudié peu après.
37. Expliquer en quoi un choix judicieux de la fréquence fb permet d’avoir accès, en un seul cliché, à une succession de positions occupées par une bulle ?
Si la fréquence du stroboscope est égale àla fréquence d'émission des bulles, on observe l'immobilité du train de bulles.
38. Qu’observerait-on qualitativement si l’on modifiait légèrement cette fréquence ?
En modifiant légèrement cette fréquence, on observe un mouvement ralenti dans le sens réel ou en sens contraire.
39. Le cliché précédent a été pris avec fb = 20 Hz. Justifier que la vitesse vn d’une bulle indicée n peut être évaluée par l’expression :
vn = ½fb(hn+1 − hn−1) et effectuer l’application numérique pour la bulle indicée n sur la figure 4.
Distance parcourue par une bulle entre le premier éclair et le troisième éclair du stroboscope : (hn+1 − hn−1)
Durée séparant le premier et le troisième éclair = 2 /fd ; vitesse moyenne : vn = ½fb(hn+1 − hn−1).
La durée étant très courte, la vitesse moyenne est peu différente de vn.
vn =10*1,5 = 15 mm /s.
On peut également mesurer le rayon de chaque bulle, ce qui permet finalement de tracer la vitesse en fonction du rayon.

40. En se servant de l’expression de vlim établie à la question 33, montrer que le module de v lim vérifie log(vlim) = A+2 log(r), où A est une constante et log est la fonction logarithme décimal. Montrer la cohérence de cette expression avec les résultats expérimentaux.
vlim = rliqg r2 /(4,5 h) ; log vlim =log (rliqg / (4,5 h)) +2 log r = A + 2 log r.
Quand la vitesse passe de 0,1 à 0,5 cm/s ( multiplication  par 5 ), le rayon augmente de 40 à 100 µm (multiplication par 2,5 ). La pente expérimentale de la droite est égale à 2.


c) Grossissement des bulles.
Etudions maintenant le mécanisme de grossissement des bulles de champagne, car on peut constater expérimentalement que le rayon varie au cours du temps. Le phénomène mis en jeu est la diffusion de molécules de CO2 à l’interface entre la bulle et le liquide. Localement, la loi de Henry est applicable au niveau de la paroi, ce qui implique que la concentration proche de la bulle de gaz cB est inférieure à celle cL dans le liquide. La concentration va s’homogénéiser au cours du temps, ce qui se traduit par un transfert de matière modélisé par l’équation
dn / dt = KS Dc.
avec n la quantité de matière de CO2 transférée dans la bulle de gaz (en mol), S la surface de la bulle, K le coefficient de transfert de matière et c = cL − cB la différence de concentration molaire (en mol·m−3).
41. Quelle est la dimension de K ?
K = dn  / (dt S Dc) ;  K s'exprime en : mol s-1 m-2 mol-1 m3= m s-1. K a la dimension d'une vitesse.
42. En se servant de la relation des gaz parfaits, montrer que la variation dn / dt est liée à la variation dr / dt.
. On supposera que la pression est constante et vaut P0 = 1,00 bar.
n = P0V/(RT) avec V = 4 / 3 p r3 ;   n = P04 / 3 p r3/(RT) ;
à température constante : dn / dt = P04  p r2/(RT) dr / dt.
43. En déduire que : dr / dt = RT / P0 K Dc . (10)
 P0 4  p r2/(RT) dr / dt = KS Dc avec S = 4 pr2.
P0 /(RT) dr / dt = K Dc ; dr / dt = K Dc RT / P0.
Les mesures expérimentales sont représentées ci-dessous.

44. Montrer que les mesures expérimentales sont en accord avec ce qui précède.
 Par intégration r = K Dc RT / P0 t + Cste.
Pour Dc constante, r est une relation affine du temps.
45. Parmi les deux séries de données obtenues, laquelle a été obtenue en premier ? Justifier.
Dc diminue au cours du temps et le rayon de la bulle augmente.
La pente de la droite K Dc RT / P0 diminue au cours du temps et va finir par s'annuler lorsque Dc = 0.
La série de données représentées par des petits carrés a été prise en premier.
46. Pour la série de données représentée par des carrés, calculer numériquement la valeur de K. On prendra Dc =0,080 mol·L−1 = 80 mol m-3.
Pente de la droite : 230/1,0 = 230 µm s-1=2,3 10-4 m s-1.
K Dc RT / P0 =2,3 10-4 ;  K = 2,3 10-4 P0 / (Dc RT) =2,3 10-4 *1,0 105 / ( 80*8,314*293) ~1,2 10-4 m /s.
47. On dit souvent que les champagnes ayant de fines bulles sont de meilleure qualité. Qu’est-ce qui, d’après l’équation 10, permettrait d’expliquer que ce sont souvent les champagnes ayant vieilli longtemps en cave qui ont naturellement de plus fines bulles que les millésimes récents ?
Le bouchon de la bouteille n'est pas absolument hermétique aux échanges gazeux et une partie du gaz carbonique va progressivement s'en échapper au cours du vieillissement. La teneur en CO2 d'un champagne ayant vieilli longtemps est plus faible que celle d'un champagne jeune. ( Dc sera plus faible et en conséquence le rayon des bulles).
Par d’autres mesures, il est possible d’avoir accès au coefficient de diffusion D du CO2, qui vaut environ D = 2·10−9 m2·s−1.
On montre que D s’exprime en fonction de K par : D = [K /0,63]1,5 r vlim-½.
48. Montrer que les résultats précédents sont cohérents avec la valeur numérique de D.
vlim = rliq r2 g /(4,5 h) =1,0 103 *1,0 10-6 *9,8 /(4,5 *1,3 10-3)=1,67 m/s.
D = (1,2 10-4 /0,63 )1,5 1,0 10-3 /  1,67½= 2,0·10−9 m2·s−1.


  

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