Probabilités.
Concours Geipi Polytech 2016.
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Partie A.
Une chocolaterie fabrique deux sortes de chocolats : des chocolats noirs et des chocolats au lait.
60% des chocolats fabriqués sont noirs. Parmi ceux-ci, 70% sont fourrés, tandis que 30% seule-
ment des chocolats au lait sont fourrées.
Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte.
Un client fait une dégustation de chocolats et il en choisit un au hasard.
On considère les événements suivants :
N : “le chocolat choisi est noir” ; F : “le chocolat choisi est fourré”.
II-A-1- Donner la probabilit´e P1 que le chocolat choisi soit noir.
P1 = 0,60.
II-A-2- Déterminer la probabilité P2 que le chocolat choisi soit noir et fourré.
P2 = 0,60 *0,70 = 0,42.
II-A-3- On note P3 la probabilité que le chocolat choisi soit fourré. Justifier que P3 = 0, 54.
P3 = 0,60 *0,70 + 0,40 *0,30 = 0,42 + 0,12 = 0,54.
Partie B.
Un client achète une boîte de n chocolats, où n est un entier naturel non nul.
Chaque chocolat mis dans la boîte est choisi au hasard et on suppose le nombre de chocolats
suffisamment grand pour que l’on puisse considérer que les choix successifs sont faits de façon
identique et indépendante.
On note Xn la variable aléatoire représentant le nombre de chocolats fourrés contenus dans la
boîıte.
II-B-1- Xn suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Les paramètres sont n ; p = 0,54 et q = 0,46.
II-B-2- Dans cette question n = 12 et, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée à 10−4 près.
II-B-2-a- Donner la probabilité P4 que la moitié des chocolats de la boîte soient fourrés.
P4=P(X=6) =C126 p6 q6 =12*11*10*9 *8*7/(6*5*4*3*2) * 0,546 *0,466 = 0,2171.
II-B-2-b- Donner la probabilité P5 que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.
P5 = 1-P(X=0) = 1-C120 p0 q12 =1-0,4612 = 1-9 10-5 = 0,9999.
II-B-2-c- Donner la probabilité P6 que la boîte contienne au plus trois chocolats fourrés.
P6 =P(X=0) +P(X=1)+P(X=2)+P(X=3).
P(X=1) = C121 p1 q11 =12*0,54*0,4611 = 1,26 10-3 .
P(X=2) = C122 p2 q10 =12*11 / 2*0,542*0,4610 = 8,16 10-3 .
P(X=3) = C123 p3 q9 =12*11*10 / 6*0,543*0,469 = 3,195 10-2 .
P6 = 9 10-5 + 1,26 10-3 + 8,16 10-3 +3,195 10-2 ~4,15 10-2.
II-B-3- Dans cette question, n est quelconque.
II-B-3-a- Donner, en fonction de n, la probabilité qn que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.
qn = 1-P(X=0) = 1-Cn0 p0 qn =1-0,46n .
II-B-3-b- Déterminer le nombre minimum n0
de chocolats que doit acheter le client afin que la probabilité que la
boîıte contienne au moins un chocolat fourré soit strictement
supérieure à 0, 98.
1-0,46n0 = 0,98 ; 0,46n0 = 0,02 ; n0 log 0,46 = ln 0,02 ; n0 = 5,037 ;
n0 doit être supérieur ou égal à 6.
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Partie C.
Dans cette partie, pour chaque probabilité demandéee, on donnera une valeur approchée
à 10−4 près.
Une étude a montré que la variable aléatoire représentant le poids, exprimé en grammes, d’un
chocolat choisi au hasard dans l’ensemble de la production suit une loi normale d’espérance
m = 15 et d’écart-type s= 2.
Le service qualité effectue un contrôle et choisit au hasard un chocolat dans l’ensemble de la
production.
II-C-1- Donner la probabilité P7 que le chocolat choisi pèse plus de 17 grammes.
t = (17-m) /s= (17-15) / 2 = 1 ; p(1) =0,841 3 ( lecture tables ).
P7 = 1-p(1) = 1-0,841 3 = 0,1587.
II-C-2- Donner la probabilité P8 que le chocolat choisi pèse moins de 13 grammes.
t = (13-m) /s= (13-15) / 2 = -1 ; p(-1) =1- p(1) ; p(1)=0,841 3 ( lecture tables ).
P8 = 1-p(1) = 1-0,841 3 = 0,1587.
II-C-3- Donner la probabilité P9 que le chocolat choisi pèse entre 12 et 18 grammes.
t = (18-15) /s= (18-15) / 2 =1,5 ; p(1,5) =0,933 2 ( lecture tables ).
1-p(1,5) = 1-0,933 2 = 0,066 8.
P9 = 1-2*0,066 8 = 0,866 4.
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Dans tout l’exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée à 10−3 près.
Une
usine fabrique des bonbons de saveurs différentes (fraise, orange,
menthe, anis, ...). Chaque bonbon est emballé dans un papier qui ne
mentionne pas le goûut du bonbon. Ensuite, les bonbons sont
conditionnés dans des sachets.
Partie A.
Une
étude a montré que la variable aléatoire représentant la masse,
exprimée en grammes, d’un sachet de bonbons choisi au hasard dans
l’ensemble de la production suit une loi normale d’espérance m = 305 et
d’écart-type = 2.
Le service qualité effectue un contrôle et choisit au hasard un sachet dans l’ensemble de la production.
IV-A-1- Donner la probabilité P1 que la masse de ce sachet soit inférieure à 300 g.
t = (305-m) /s= (305-300) / 2 =2,5 ; p(2,5) =0,993 8 ( lecture tables ).
P1 = 1-p(2,5) = 1-0,993 8 = 0,0062 ~0,006.
IV-A-2- Donner la probabilité P2 que la masse de ce sachet soit comprise entre 302 g et 308 g.
t = (308-m) /s= (308-305) / 2 =1,5 ; p(1,5) =0,933 2 ( lecture tables ).
1-p(1,5) = 1-0,933 2 = 0,066 8.
P9 = 1-2*0,066 8 = 0,866 4 ~0,866.
Partie B.
La
fraise étant la saveur la plus appréciée des consommateurs, l’usine a
décidé que la moitié des bonbons fabriqués auraient un goût de fraise.
Pour
remplir un sachet, chaque bonbon est choisi au hasard dans l’ensemble
de la production et la production est suffisamment importante pour que
l’on puisse considérer que les choix successifs se font de façon
identique et indépendante.
Un client achèete un sachet contenant 40 bonbons.
X désigne la variable aléatoire représentant le nombre de bonbons, parmi les 40, au goût de fraise.
IV-B-1- X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
n = 40 ; p = 0,5 ; q = 1-p = 0,5.
IV-B-2- Donner la probabilité P3 que la moitié des bonbons du sachet aient un goût de fraise.
P3 = P(X=20) =C4020 p20 q20 =40 ! /(20! *20 ! )* 0,520 *0,520 = 0,125.
IV-B-3- Donner la probabilité P4 que le sachet contienne au plus 20 bonbons au goût de fraise.
P4 =P(X=0) + P(X=1) +.....P(X=19) +P(X=20).
P(X=0) = 40 ! /(0 ! *40 ! )* 0,540 *0,50 = 9,1 10-13.
P(X=10) = 40 ! /(10 ! *30 ! )* 0,510 *0,530 = 7,7 10-4.
P(X=11) = 40 ! /(11 ! *29 ! )* 0,511 *0,529 = 2,10 10-3 ; P(X=12) = 40 ! /(12 ! *28 ! )* 0,540 = 5,08 10-3.
P(X=13) = 40 ! /(13 ! *27 ! )* 0,540 = 1,09 10-2 ; P(X=14) = 40 ! /(14 ! *26 ! )* 0,540 = 2,11 10-2.
P(X=15) = 40 ! /(15 ! *25 ! )* 0,540 = 3,66 10-2 ; P(X=16) = 40 ! /(16 ! *24 ! )* 0,540 = 5,72 10-2.
P(X=17) = 40 ! /(17 ! *23 ! )* 0,540 = 8,07 10-2 ; P(X=18) = 40 ! /(18 ! *22 ! )* 0,540 = 0,1031.
P(X=19) = 40 ! /(19 ! *21 ! )* 0,540 = 0,1194 ; P(X=20) = 0,125.
P4 =7,7 10-4+2,10 10-3 +5,08 10-3 + 1,09 10-2 +2,11 10-2+3,66 10-2 +5,72 10-2+8,07 10-2 +0,1031+0,1194+0,125 ~0,562.
IV-B-4- Donner la probabilité P5 que le sachet contienne strictement plus de 24 bonbons au goût de fraise
P5 = 1-.P4-P(X=21)-P(X=22)-P(X=23)-P(X=24).
P(X=21) = 40 ! /(19 ! *21 ! )* 0,540 = 0,1194 ; P(X=22) = 40 ! /(22 ! *18 ! )* 0,540 = 0,1031 ;
P(X=23) = 40 ! /(17 ! *23 ! )* 0,540 = 8,07 10-2 ; P(X=24) = 40 ! /(24 ! *16 ! )* 0,540 = 5,72 10-2.
P5 = 1-0,562 -0,1194 - 0,1031-8,07 10-2 -5,72 10-2 =0,0776.
Partie C.
La
responsable de production affirme que la proportion p de bonbons au
goût de fraise dans l’ensemble de la production est égale à 0, 5. Pour
vérifier son propos, elle fait un contrôle.
IV-C-1-
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la
fréquence de bonbons au goût de fraise contenus dans un échantillon de
n bonbons est :
I = [p − 1, 96 [p(1-p) / n]½ ; p + 1, 96 [p(1-p) / n]½ ].
Donner l’intervalle I pour un ´echantillon de 40 bonbons. Les bornes de I seront arrondies à 10−3 près.
1, 96 [p(1-p) / n]½ =1,96 [0,5 *0,5 / 40]½ =0,155 ; I = [0,5-0,155 ; 0,5 +0,155] = [0,345 ; 0,655 ].
IV-C-2-
La responsable de production prélève au hasard un sachet de 40 bonbons
dans la production. Elle remarque que 17 bonbons exactement ont le goût
de fraise. Au vu de l’intervalle I précédent, l’affirmation de la
responsable de production est-elle à rejeter ou non ? Expliquer
pourquoi.
17/40 = 0,425.
Cette valeur ppartient à l'intervalle de confiance. L'affirmation n'est pas à rejeter.
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