emia 2015


Radioactivité, mécanique, diffraction, sphère chargée, électronique, concours EMIA 2015

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Désintégration du césium en baryum.
Un atome de Césium 137 13755Cs se désintègre  e baryum 13756Ba en émettant une particule ß-.
1. Ecrire l'équation de cette réaction nucléaire. Quelles lois sont utilisées ?
13755Cs ---> 0-1e +13756Ba.
Conservation de la charge : 55 = -1 +56 ; conservation du nombre de nucléons : 137 = 0 +137.
2. Donner la signification de 13755Cs et définir la notion d' isotope.
Le noyau de césium compte 55 protons et 137-55 = 82 neutrons.
Des isotopes ne diffèrent que par leur nombre de neutrons. Ils ont le même numéro atomique.
 3. Une source radioactive contient 1018 noyaux de césium 137 à la date t0. On mesure son activité à la date t1 : A1 = 5,7 108 Bq. On donne la période radioactive du césium 137 : t½ = 30,17 ans.
3.1. Qu'appelle -ton période radioactive ?
La période rzdioactive est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.
3.2. Calculer la valeur de la constante radioactive du césium 137. Calculer la date t1.
 l t½ = ln(2) ; l = ln(2) / 30,17=0,02297 an-1 ou
0,02297 /(365 x 24 x3600) =7,285 10-10 s-1.
A0 = l N0 =  7,285 10-10 x1018= 7,285 108 Bq.
A= A0exp(-l t) ; ln(A0/A) = lt ; t = ln((7,285 108/ (5,7 108)) / 0,02297 =10,7 ans..

 Mécanique du point.
Tir vertical d'une balle avec un FAMAS.
Calibre : D = 5,56 mm ; masse de la balle m = 4 g ; vitesse initiale de la balle : v0 = 900 m/s ;  Coefficient de taînée de cette balle CD=0,3 ; g = 9,81 m s-2.
Partie I : tir vertical dans le vide.
 1. Faire un schéma de la balle en vol et représenter l'(es) effort(s) appliqué(s)  à cette balle assimilée à un point matériel.
Dans le vide , la balle n'est soumise qu'à son poids.
1.2.  La balle quitte l'arme et gagne de l'altitude.
1.2.1. Enoncer la seconde loi de Newton.
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées au système est égale à la masse du système multipliée par le vecteur accélération de son centre d'inertie.
1.2.2. Appliquer cette loi et déterminer au bout de combien de temps la balle atteint l'altitude maximale
.Accélération a = -g ; vitesse v = - gt +v0 ; position y = -½gt2+v0t.
A l'altitude maximale, la vitesse est nulle : t = v0 / g = 900 / 9,81 =91,7 s. Ce résultat paraît peu cohérent
1.3. La balle redescend vers le sol..
Quelle vitesse la balle atteint-elle au niveau du sol ?
La conservation de l'énergie mécanique implique que la vitesse finale est égale à la vitesse initiale .
Partie II. Prise en compte de la résistance de l'air.
Cette force est modélisée par F = 0,5 rSCDv2.
r =1,25 kg m-3, masse volumique de l'air ;  S : surface transversale maximale du projectile ; CD coefficient de traînée ; v : vitesse de la balle.
La balle est étudiée dans sa phase de chute vers le sol.
2.1 et 2.2 Faire un schéma de la situation. Etablir l'équation différentielle régissant le mouvement.
La poussée d'Archimède due à l'air peut être négligée devant le poids.

2.3. Déduire de cette équation différentielle l'expression d'une vitesse limite.
La vitesse augmente au début de la chute. La force de frottement croît avec le carré de la vitesse. Lorsque cette force est opposée au poids, la vitesse devient constante.
dVlim/dt =0 ; 0,5 rSCD V2lim = mg ; V2lim =2mg /(rSCD) ; Vlim = [2mg /(rSCD)]½.
2.4. La balle atteint au sol 99% de sa vitesse limite. Un impact sur le corps humain avec une énergie de 15 J peut induire des dommages corporels importants, conclure sur la dangerosité de ce tir.
S = 3,14 x(5,56 10-3)2 / 4 = 2,43 10-5 m2.
 Vlim =[2 x 0,004 x9,81 / (1,25 x2,43 10-5 x0,3)]½ =92,8 m /s.
Energie cinétique de la balle : ½m(0,99 x Vlim)2 = 0,002 x91,872=16,9 J, valeur supérieure à15 J.
Il peut y avoir des dommages corporels.





Physique des ondes.
On intercale devant un faisceau laser une plaque avec une fente rectangulaire de largeur a = 0,04 mm. On place après cette plaque un écran. La distance fente-écran est D = 3 m. On a représenté la figure obtenue sur l'écran. La largeur L de la tache centrale mesure 8,2 cm.


1. Comment se nomme le phénomène observé ?
Diffraction des ondes par une fente..
2 On rappelle que l'écart angulaire entre le milieu de la tache centrale et la première extinction vérifie la relation q = l / a. Calculer la longueur d'onde du laser.

l = aL / (2D) = 4 10-5 x0,082 / 6=5,47 10-7 m = 547 nm.

3. La houle est un mouvement ondulatoire de la surface de la mer formée par un vent lointain. Un vent de 80 km/h engendre une houle dont les vagues font 1,5 m de hauteur. Ces vagues sont espacées de 225 m. Elles s'enchainent toutes les  10 s.
3.1. Calculer la vitesse de déplacement des vagues à la surface de l'eau..
l = 225 m ; T = 10 s ; v = l /T = 225 / 10 = 22,5 m/s.
3.2.  Cette houle arrive au niveau d'un port dont la largeur D = 1000 m et dont l'entrée a une largeur a = 200 m. Un bateau est amarré au fond du port à une distance de 400 m de l'entrée. Le bateau ressentira t-il les effets de la houle ? Pourquoi ? Faire un schéma explicatif.
Cette houle arrive sur un port dont l'ouverture entre deux jetées a une largeur a = 200 m, valeur du même ordre de grandeur que la longueur d'onde des vagues : on s'attend donc à un phénomène de diffraction avec q=l/a= 225/200 = 1,125 radian ou 64°.
Le bateau ressent donc les effets de la houle.


3.3. Donner la définition d'une onde mécanique. La lumière est-elle une onde mécanique ? La houle est-elle une onde longitudinale ou transversale ? Justifier.
Une onde mécanique est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, avec transport d'énergie, sans transport de matière.
La houle est une onde mécanique transversale : la direction de la déformation est perpendiculaire à la direction de propagation.
La lumière est une onde électromagnétique.









Cinématique du point. Hockey sur glace.
Un  joueur glisse sur une patinoire avec le palet guidé par sa crosse. Le patineur se déplace à la vitesse VP par rapport à la patinoire telle que ses composantes sont  : VPx = -2 et VPy =-6 .  Il frappe le palet en lui donnant une vitesse v = 25 m/s par rapport à lui, dans la direction du centre du but O. Au moment de la frappe, le palet est en R de coordonnées xR = 4 ; yR = 4.
1. Rappeler les caractéristiques d'un vecteur.
Un vecteur est défini par son point d'application, sa direction, son sens et sa norme.
2. Donner les caractéristiques du vecteur vitesse du palet par rapport au joueur qui le frappe. Exprimer ensuite les composantes de cette vitesse dans le repère.
3. Déterminer la vitesse du palet par rapport au repère fixe.

4. La largeur du but est de1,83 m et le gardien n'est pas assez rapide pour bloquer le palet. Le but est-il marqué ?

ß > a : le but est marqué.



Champ électrostatique d'une sphère chargée en surface.
O centre de la sphère de rayon R ; Q >0, charge surfacique de la sphère.
1. Exprimer le vecteur champ électrostatique en un point M situé à la distance r du centre de la sphère.
Soit un point M situé à l'intérieur de la sphère, à une distance OM=x du centre.

Par raison de symétrie le champ est radial.

On considère une sphère S , de centre O et de rayon x.

D'après le théorème de Gauss, le flux du vecteur champ électrique à travers la surface S est nul car il n'y a pas de charge à l'intérieur de S.

si x < R, le champ électrique est nul à l'intérieur de la sphère.

Soit un point M situé à une distance x > R

F = E 4px²

D'autre part la charge contenue à l'intérieure de S est la charge totale de la sphère de rayon R : Q = s 4pR².

d'où E = s R² / (e0x²)

On retrouve la discontinuité de la composante normale du champ (s / e0) à la traversée d'une surface chargée.

2. En déduire le potentiel électrostatique V(M).
( le potentiel électrique est nul à l'infini).


La constante d'intégration est nulle, le potentiel électrique étant nul à l'infini.
A l'extérieur de la sphère : V = Q/(4p e0 r).
A la surface de la sphère : V = Q/(4p e0 R).
Il y a continuité du potentiel à la traversée de la surface de la sphère.
Potentiel constant à l'intérieur de la sphère V0 = Q/(4p e0 R).

Mécanique.
On remplit un verre d'eau contenant des glaçons à ras bord. Que se passe t-il lorsque les gmaçons vont fondre ?
Trois propositions sont faites.
1. La glace occupe un plus grand volume que le liquide, le niveau de l'eau va donc baisser dans le verre.
2. Comme pour les glaces aux pôles qui vont faire monter l'eau des mers avec le rechauffement climatique, l'eau va déborder du verre.
3. Le niveau de l'eau ne va pas changer dans le verre.
Quelle est la bonne explication ? Justifier.
1 est fausse, car  une partie de la glace est immergée ( 90 %) et une autre partie émerge ( 10 %).
2 est fausse, le niveau des mers montera  à cause de la fonte des glaces continentales et de la dilatation de l'eau.
3. est vraie.

Générateur de Thévenin.
1. Déterminer le schéma équivalent de Thévenin pour chaque circuit.

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2. Quelles relations doit-on avoir entre E1, E2, R1, R2 pour que ces deux circuits soient équivalents ?
E1 = E2 et 1,5 R1 = 0,5 R2.



  

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