Voiture soumise à une puissance constante, suspension Concours CGE 2010

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1. La voiture réduite à un point matériel.
On considère un véhicule, assimilé à un point matériel de masse m, en mouvement rectiligne horizontal. Sa position est repérée par son abscisse x et on ne considérera que les composantes des forces colinéaires au vecteur directeur de l’axe Ox.
Dans tout le problème, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
1.1. L’automobile n’est soumise qu’à l’action de son moteur qui développe une puissance constante P. Elle part du repos en x = 0. Les frottements sont négligés.
Déterminer, en fonction du temps, les expressions de la vitesse v(t), de l’accélération g(t), de l’abscisse x(t).
La voiture est soumise à son poids, à l'action du sol opposée au poids et à la force motrtice F horizontale et constante. Entre o et t, seule la force motrice travaille.
Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre 0 et t : Pt = ½mv2 ; v =( 2Pt / m)½.
L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps : g = dv /dt=( P / (2mt))½.
La position est une primitive de la vitesse et si on chosit l'instant initial à l'origine des abscisses :
x=2 /3  ( 2P / m)½ t1,5.
1.2. Déterminer l’expression de x en fonction de la vitesse v.
v2 = 2Pt / m ; t = mv2/ (2P) ; repport dans l'expression de x :
x2 = 4/9 2P / m [mv2/(2P)]3 = m2v6 / (9P2) ; x = mv3/(3P).
1.3. Au bout de quelle distance le véhicule aura-t-il atteint la vitesse de 90 km/h ?
On donne : m = 1200 kg et P = 75 kW.
v=90/3,6=25 m/s ; P = 75000 W.
x = 1200 *253/(3*75000)=83,3 m.
1.4. La voiture est maintenant soumise, en plus de l’action du moteur, à une force de résistance de l’air, de norme k m v2, où k est une constante positive.
1.4.1. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, pendant une durée infinitésimale dt, établir l’équation différentielle : dx =mv2dv / (P-kmv3).
Entre les instant t et t+dt : ½m(v+dv)2-½mv2 = Pdt - kmv2dx = Pdt-kmv3dt = (P-kmv3)dt.
En négligeant le terme du second ordre dv2 :
mvdv=(P-kmv3)dt avec dx = vdt.
mv2dv=(P-kmv3)dx ; dx = mv2dv / (P-kmv3).
1.4.2. En intégrant cette équation différentielle, exprimer x en fonction de v, sachant que x(0)=0 et v(0)=0.
On pose u =P-kmv3 ; du = -3kmv2dv d'où : dx =du/ (-3ku)
Intégrer : x = -1/(3k) lnu +cste ; 
xt=0)=0 = -1/(3k) ln P +cste ; cste = 1/(3k) ln P.
x = 1/(3k)[ ln P-ln(P-kmv3)]
x= 1/(3k) ln( P /(P-kmv3)).
1.4.3. Montrer qu’il existe une vitesse limite Voo.
e3kx=P / (P-kmv3) ; P-kmv3 = Pe-3kx.
Quand x devient grand, e-3kx tend vers zéro.
P-kmvoo3 =0 ; voo =[P /(km)]1/3.
1.4.4. Donner x en fonction de v et de Voo.
x=1/(3k) ln( 1 /(1-(v/voo)3)).
1.5. On donne Voo = 180 km/h. (180/3,6)=50 m/s.
1.5.1. Calculer la valeur de k.
k =P /(mvoo3)=75000 /(1200*503)=5 10-4m-1.
1.5.2. Au bout de quelle distance X, le véhicule aura-t-il atteint la vitesse de 90 km/h ?
x=1/(3k) ln( 1 /(1-(v/voo)3))=1/ (1,5 10-3) ln(1/(1-0,53))=89 m.




1.6. Pour déterminer l’accélération de l’automobile, on utilise un accéléromètre hydrostatique.
Il est constitué d’un tube en U, de faible section S, rempli d’un liquide de masse volumique μ.
On l’accole solidairement à la carrosserie de sorte qu’il subit la même accélération constante et horizontale γ que la voiture.
On constate une différence de niveau entre les surfaces libres A et B du liquide.

 On donne : L = 12 cm = DE, g = 10 m/s² et h = 3 cm.
1.6.1. Calculer la différence de pression DP = PD – PE.
DP = µgh
1.6.2. En déduire la force qui agit sur la colonne horizontale de liquide entre D et E.
F = DP S = µgh S
1.6.3. Montrer que l’accélération de l’automobile s’écrit g = g h / L. Calculer sa valeur.
F = m g avec m = SL µ ; F = SL µ g.
 SL µ g = µgh S ; g = g h / L=10*12/3=40 m s-2.










Etude de la suspension.
On considère le système (S) formé par le quart de la voiture de centre de masse G et décrit ci-dessous.
On supposera que (S), de masse m = 300 kg, n’est pas couplé avec le reste de l’automobile.
Le point O correspond à la position de G lorsque le système (S) est immobile par rapport à l’axe vertical Oz.
Le système (S) est relié au sol par un ressort (R) de raideur k = 22 kN/m et il est soumis de la part d’unamortisseur (A), à une force de frottement fluide f avec μ = 800 kg/s.
Dans tout le problème, la voiture roule sur une route horizontale avec une vitesse constante.
La voiture rencontre une bosse à l’instant initial. À cet instant z(0) = z0 = 5 cm et (dz/dt) (0)= 0.
4.1. Écrire l’équation du mouvement vertical de G, satisfaite par z(t).


4.2. Montrer, en utilisant les valeurs numériques, que le mouvement de G est pseudo-périodique.
µ / m = 800 / 300= 8 / 3  ~2,67 s-1 ; k/m=22000 /300 =73,3 s-2.
Equation caractéristique : r2 +2,67 r +0,0733=0
Discriminant : 2,672-4*73,3 ~-286.
Le déterminant étant négatif, il n'y a pas de racine réelle. Le mouvement est donc pseudo-périodique.
4.3. La fonction z étant alors de la forme z(t) = A exp(-at) cos(wt + F), donner l’expression de a en
fonction μ et m ainsi que l’expression de w en fonction de μ , m et k.
On pose a = µ / (2m) ; w02 = k / m ; -D = 4(w02-a2)=4w2.
Solutions de l'équation caractéristique : a ±w.
w2 =k/m -µ2 / (4m2)=k /m [1-µ2 / (4km)] = w02[1-µ2 / (4km)].
w=w0[1-µ2 / (4km)]½.
4.4. Calculer la valeur numérique de la pseudo-période T du mouvement.
T = 2p /w ; w0 = (22000 / 300)½=8,56 rad / s.
µ2 / (4km) =8002 / (4*22000*300)=0,0242 ; [1-µ2 / (4km)]½=0,9878 ; w=8,56*0,9878=8,46 rad/s ; T = 6,28/8,46=0,743 s.
4.5. Exprimer A et tan F en fonction de z0, a et w. Calculer les valeurs numériques de A et F.
z(t) = A exp(-at) cos(wt + F).
z(0) = A exp(0) cos(0 + F) ; z0=A cos(F).
vitesse z'(t) = -A exp(-at) [acos(wt + F) + w sin(wt + F) ]
z'(0) = 0 = acos( F)+w sin( F) ; tan F = -a /w ;
a  = µ /(2m) = 800/600=4 /3 ; w =8,46 rad / s ; tan F = -4/(3*8,46)= -0,1576 ; F = -8,96°.
cos2 F = 1/(1+tan2F) = 1/(1+a2/w2)=w2/ (a2 +w2).
z0=A cos(F) ; A= z0 (a2 +w2)½ /w.
cos(F) =0,9878 ; A = 0,05 / 0,9878=0,0506 m.
4.6. La voiture roule sur une route ne présentant pas de bosses. Les amortisseurs sont déréglés.
Tout se passe comme si le système (S) ne subissait que les forces qui s’exerçaient sur lui lors de l’étude précédente. Ces forces sont inchangées ; par contre la valeur du coefficient μ est modifiée. La voiture rencontre la même bosse à l’instant initial.
On s’intéresse toujours au mouvement vertical de G, qui est, à partir de cet instant apériodique critique.
4.6.1. Quelle est la relation entre m, k et μ ? En déduire la nouvelle valeur de μ .
Le discriminant de l'équation caractéristique est nul :
(µ / m)2 = 4k / m ; µ =2 (km)½ = 2(22000*300)½ =5138 kg / s.
4.6.2. Donner la nouvelle expression de z(t) en fonction de z0 et w0 .
z(t)= zmax(1+at)exp(-at).
z(0)=z0 = zmax ;  z(t)= z0(1+at)exp(-at).
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Allumage automatique des feux de position.
L’automobile est munie d’un allumage automatique des feux de position. Celui-ci se fait en fonction de
l’éclairement extérieur E, et est réalisé grâce au circuit ci-dessous  comprenant un amplificateur
opérationnel (AO) et une diode (D).
 L’amplificateur opérationnel est considéré comme parfait et fonctionne en régime linéaire.
La diode (D) est une photodiode. Polarisée en sens inverse, elle est parcourue par un courant dont l’intensité I ne dépend que de l’éclairement E qu’elle reçoit. L’éclairement E se mesure en W/m².
On donne : I = I0 + a E avec I0 = 4 μA, a = 65x10-9 SI et R = 10 kΩ.
3.1. Exprimer le gain G = Us/Ue en fonction de R1 et R2.

3.2. Quelle valeur faut-il donner au rapport R2 / R1 pour avoir G = 50 ?
50 = R2 / R1 +1 ; 49 = R2 / R1.
3.3. Exprimer UE en fonction de I, puis de E.
UE = RI =R(I0+aE).
3.4. Mettre Us sous la forme : Us = U0 + KE. On donnera les valeurs de U0 et K.
US = UE(R2/R1+1)=R(I0+aE)(R2/R1+1) = RI0 (R2/R1+1)+Ra(R2/R1+1) E.
U0 = RI0 (R2/R1+1)=10 * 4 10-3 *50 =2 V ; K = Ra(R2/R1+1)=10*65 10-9 *50 =3,25 10-5V m2W-1.
3.5. À la sortie de l’amplificateur opérationnel se trouve un relais électromécanique qui s’enclenche si Us = 8 V, ce qui ferme le circuit contenant une lampe à halogène (L).
Pour quelle valeur de l’éclairement le relais s’enclenche-t-il ?
 Us = U0 + KE ; E = (Us-U0) / K = (8-2) /(3,25 10-5) =1,85 105 Wm-2.


  

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