Lois normale,
binomiale, test d'hypothèse.
Bts 2016.
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Partie A. Défauts de fabrication et conformité.
L’entreprise AGOREX fabrique et distribue des pipettes jaugées en
verre. Deux chaînes de production (A et B) permettent de répondre à la
demande journalière.
• 55% des pipettes viennent de la chaîne de production A et 2,6% des pipettes de cette chaîne sont inutilisables ;
• 3,6% des pipettes provenant de la chaîne de production B sont inutilisables.
On choisit au hasard une pipette dans le stock journalier de l’entreprise et on note :
• A l’évènement : « La pipette est sortie de la chaîne de production A » ;
• B l’évènement : « La pipette est sortie de la chaîne de production B » ;
• I l’évènement : « La pipette est inutilisable ».
Les questions 1, 2 et 3 peuvent être traitées de façon indépendante.
1. Calculer à 10−3 près la probabilité qu’une pipette soit inutilisable.
p(I) =0,55 x 0,026 + 0,45 x 0,036 = 0,0143 + 0,0162 = 0,0305.
2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu’une pipette soit inutilisable
est égale à 0,03. On prélève au hasard un échantillon de 100 pipettes
dans le stock de l’entreprise. Le nombre de pipettes produites est
suffisamment important pour que l’on assimile ce prélèvement à un
tirage avec remise de 100 pipettes. On considère la variable aléatoire
X qui, à tout prélèvement de 100 pipettes, associe le nombre de
pipettes inutilisables.
a. Déterminer la loi suivie par X en précisant ses paramètres.
Les
prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 100. La
probabilité qu'une pipette soit non conforme est constante p = 0,03.
La probabilité qu'une pipette soit conforme est q = 0,97.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0,03.
b. Quelle est la probabilité de l’évènement : « au moins une des pipettes est inutilisable » ?
On arrondira cette probabilité au millième.
1-P(0) =1-
P(X=0) = C0100 q100 p0=1-0,97100 =1-0,04755 = 0,952.
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3. Pour
répondre au cahier des charges de certains laboratoires, l’entreprise
AGOREX est amenée à effectuer des tests de conformité. Une pipette
utilisable est dite conforme si sa contenance est comprise entre 98 mL
et 102 mL.
On note µ la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard
dans le stock d’un laboratoire associe sa contenance (enmillilitres).
On admet que µ suit une loi normale de moyenne 100 et écart type s = 1,021.
On prélève au hasard une pipette dans la production.
a. Quelle est la probabilité, à 10−4 près, pour que cette pipette soit conforme ?
Le volume de la pipette doit être compris entre 98 et 102 mL.
t = (102-100) / 1,021 = 1,959.
Les tables donnent 0,97485.
La probabilité recherchée vaut 2 x 0,97485 -1 = 0,9497 ~0,950.
b. Au final sur le lot de 1 000 pipettes produites combien seraient conformes ?
0,9497*1000 ~950 pipettes seraient conformes.
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Partie B. Estimation
Le laboratoire BIOMATOP effectuant des analyses se fournit en pipettes auprès de l’entreprise AGOREX.
Dans cette partie on considère une grande quantité de pipettes livrées au laboratoire.
On considère un échantillon de 200 pièces prélevées au hasard dans cette livraison.
La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
Dans cet échantillon, on constate que 5 pipettes sont cassées.
1. Donner une estimation ponctuelle de la proportion inconnue pc des pipettes cassées de cette livraison.
pc = 5 / 200 = 0,025.
2. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion pc avec le coefficient de confiance de 95%.
p = 0,025 ; q = 1-p = 0,0975 ; n = 200 ;
s = (pq / n)½ = (0,025*0,975 /200)½ =0,0110.
1,96 s =1,96 *0,011 = 0,02164.
Intervalle de confiance : [ 0,025 -0,0216 ; 0,025 +0,0216 ]
soit [ 0,003 ; 0,047 ].
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