Equation différentielle, étude de fonction. Bts groupe D 2014.

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Exercice 1.
Une société agroalimentaire produit des plats cuisinés. Elle utilise pour cela des pièces de viande de 2 kg initialement congelées à une température de −21 °C. On considère par la suite que les pièces de viandes sont identiques. Lors de la décongélation, les pièces de viandes sont placées dans une zone d’un réfrigérateur maintenu à une température de T °C. L’entreprise doit respecter des contraintes sanitaires et des contraintes liées à la qualité gustative des produits qu’elle
fabrique. Elle mène pour cela une étude sur l’évolution de la température au coeur d’une pièce
de viande au cours de la décongélation. La loi de refroidissement de Newton permet théoriquement, sous certaines conditions, de modéliser cette évolution, en fonction du temps, par une fonction q vérifiant : q'(t)=k[q(t)-T] (E)
où
- k est une constante liée aux caractéristiques de la pièce de viande,
- T est la température de la zone du réfrigérateur dans laquelle est placée la viande,
- t est la durée, exprimée en heure, écoulée depuis le début de la décongélation
- et q(t ) est la température, exprimée en degré Celsius (°C), au coeur de la pièce de viande après t heures de décongélation.
Partie A : détermination de la constante k
Le réglage standard d’un réfrigérateur domestique est de T = 5° C.
On place une des pièces de viande dans une zone de réfrigérateur maintenue à cette température.
L’évolution de la température au coeur de la pièce de viande est suivie à l’aide de sondes thermocouples et mène aux relevés suivants :
i123456
ti temps écoulé en heure0510152025
qi température en °C-21-5,11,13,54,44,8
zi= ln(5−qi )3,262,311,360,41-0,51-1,61
1. On pose zi = ln(5−qi ). Donner les valeurs de zi pour i variant de 1 à 6. Arrondir au centième.
2. Donner une équation de la droite d’ajustement affine de z en t par la méthodes des moindres carrés sous la forme z = at +b. Arrondir au centième les valeurs de a et de b.
z = -0,19 t +3,28.
3. En déduire que l’on peut estimer la température au coeur de la pièce de viande après t heures (t compris entre 0 et 25) par : q(t) =-26,58 e-0,19t+5.
5-q(t) =e-0,19t e3,28 = 26,58 e-0,19t  ; q(t) = 5-26,58 e-0,19t.
4. Calculer q′(t ) et q(t )−5.
q(t )−5 = -26,58 e-0,19t ; q′(t ) =26,58*0,19e-0,19t =5,05 e-0,19t.
Justifier que lemodèle de l’équation (E) (donnée dans le préambule de l’exercice) s’applique dans le cas présent avec des constantes k et T dont on donnera les valeurs.
q'(t)=k[q(t)-T] ; 5,05 e-0,19t = k( 5-26,58 e-0,19t-T] =k(5-T)-26,58 ke-0,19t.
On identifie T=5°C  et k =-5,05 /26,58 = -0,19 h-1.




Partie B.
On considère qu’une pièce de viande est décongelée lorsque la température au coeur de la viande est supérieure ou égale à 0° C. Une viande décongelée donne, lorsqu’on la consomme après cuisson, l’illusion du produit frais si sa décongélation a duré au moins 12 heures. L’ajustement effectué dans la partie A permet d’estimer qu’une pièce de viande de 2 kg décongèle dans une zone du réfrigérateur maintenue à 5° C en 8 h 50 min, ce qui ne convient pas.
Par souci de qualité gustative, la société agroalimentaire décide donc de décongeler plus lentement la viande en la plaçant dans une zone plus froide du réfrigérateur. Par ailleurs, si on décongèle une pièce de viande à une température supérieure à 2° C, il y a reprise de la prolifération de certaines bactéries. On choisit donc T = 2° C.
D’après la loi deNewton, la température de la pièce de viande est modélisée par une fonction q vérifiant : q'(t) =-0,19 [q(t)-2] c'est à dire : q'(t) +0,19 q(t)=0,38.
1. Résolution d’une équation différentielle.
On considère l’équation différentielle y′(t )+0,19y(t ) = 0,38. (1).
où y est une fonction de la variable t , définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +oo[ et y′ la fonction dérivée de la fonction y.
a. Déterminer les solutions sur l’intervalle [0 ; +oo[ de l’équation différentielle.
Solution générale de y′(t )+0,19y(t ) =0 : y(t) = A e-0,19t avec A une constante.
Solution particulière de (1) :y = 2.
Solution générale de (1) : y(t)=A e-0,19t +2.
2. Détermination de la fonction q
On rappelle que q est solution de l’équation (E) et que q(0) = −21.
a. Justifier que q(t ) = −23e−0,19t +2.
y(t)=A e-0,19t +2 ; y(0)=-21=A +2 ; A = -23.
b. Déterminer la limite de q(t) quand t tend vers l'infini. . Interprétez le résultat obtenu dans contexte concret étudié.
Le terme en exponentielle tend vers zéro si le temps devient grand ; q(t) tend vers 2, température à ne pas dépasser pour éviter la prolifération de certaines bactéries.









3 Durée  de décongelation.
a. Estimer le temps nécessaire pour que les pièces de viande, placées dans une zone du réfrigérateur maintenue à T = 2° C, soient décongelées.
La température au coeur de la viande est supérieure ou égale à 0° C.
q(t ) = −23e−0,19t +2 =0 ; e−0,19t  =2 / 23 =0,087 ; -0,19t = ln 0,087 = -2,44 ; t = 2,44 / 0,19 =12,85 h = 12 h 51 min.
Plusieurs méthodes peuvent être employées. Le candidat devra indiquer celle qu’il a choisie et en donner les étapes.
b. La viande ainsi décongelée donnera-t-elle, lorsqu’on la consommera, l’illusion du produit frais ?
Cette viande, après cuisson, donnera l’illusion du produit frais ( la décongélation a duré au moins 12 heures ).

PARTIE C : Prise en compte de la règlementation sanitaire.
Initialement, la concentration bactérienne dans les pièces de viande congelées utilisées par la société agro alimentaire est estimée à 50 bactéries par gramme. On admet qu’à partir du moment où la viande est décongelée, les bactéries reprennent leur prolifération et que, tant que la viande est laissée dans une zone du réfrigérateur maintenue à 2° C, la vitesse de croissance de la concentration bactérienne à l’instant t (exprimé en heure) est modélisée sur l’intervalle [0 ; +oo[ par : v(t )= 3e0,06t .
La concentration bactérienne (exprimée en bactéries par gramme) de la viande à l’instant t est donc modélisée par la primitive G0 de la fonction v qui vérifie G0(0) = 50.
1. Détermination de la fonction G0.
a. Déterminer les primitives G de la fonction v.
G = 3 /0,06 e0,06t+ Cste = 50e0,06t+ Cste.
b. En déduire l’expression de G0(t ) pour t supérieur ou égal à 0.
G0(0) = 50 =50 +Cste ; G0 = 50e0,06t.
2. Le niveau de tolérance fixé par la règlementation sanitaire de plusieurs pays est de 100 bactéries par gramme pour la viande que l’on cuisine.
Un lot de pièces de viande termine sa décongélation à 18 h, un soir de la semaine.
Si les employés le laissent au réfrigérateur, à 2° C, et ne le cuisinent que le lendemain à 8 h, la règlementation sanitaire de ces pays sera-t-elle respectée ?
Durée de séjour au réfrigérateur : t = 14 h.
G0 (14)= 50e0,06*14 = 50*2,316 ~116 bactéries par gramme de pièce de viande. La réglementation n'est pas respectée..


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