Lecture des informations sur un CD, effet Doppler, descente acrobatique. Concours Audioprothèsiste Paris 2014

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Lecture des informations stockées sur un CD.
On souhaite évaluer l’ordre de grandeur de la quantité d’informations enregistrées sur un CD (compact disc) audio. L’encombrement spatial d’un bit sur ce compact disc est de l’ordre de 2,0 µm2. La gravure du compact disc est faite du bord vers le centre, à partir d’un rayon R= 5,80 cm jusqu’à un rayon r= 2,50 cm.
Quelle est la valeur de la surface que l’on peut utiliser pour l’écriture des bits ?
p(R2-r2)=3,14(5,82-2,52)=86,05 ~86 cm2.
Quelle est la quantité de bits ainsi stockés sur ce compact disc ?
86 108 / 2,0 = 4,3 109 bits.
La vitesse linéaire de défilement du disque devant le faisceau laser est constante v=1,22 m s -1 environ. Quelles sont les valeurs minimale et maximale de la vitesse angulaire de rotation du disque lors de la lecture ?
w1 = v / R =1,22 / (5,80 10-2) =21,0 rad / s.
w2 = v / r =1,22 / (2,50 10-2) =48,8 rad / s.
L’ensemble des pistes forme la spirale d’enregistrement : une piste ayant une largeur constante e = 2,0 µm, évaluer la longueur de la spirale.
p(R2-r2) / e =86 / (2,0 10-4) ~ 4,3 103 m.
Combien de bits sont lus par seconde ?
4,3 109 bits sont stockés sur une longueur de 4,3 103 m.
En une seconde le faisceau laser parcourt 1,22 m environ.
1,22*4,3 109 / (4,3 103) =1,22 106 bits lus par seconde.
Détermination d'une vitesse par effet Doppler.
Les radars routiers utilisent l’effet Doppler pour mesurer la valeur de la vitesse des véhicules.
Pour simplifier le problème, on considère un véhicule émettant un son (E) s’approchant d’un observateur immobile (O) ; le véhicule et l’observateur sont considérés comme ponctuels.
On travaille dans le référentiel terrestre et on suppose que la vitesse du véhicule, constante, est très inférieure à la célérité de l’onde sonore.
On notera - f la fréquence du signal produit par le véhicule émetteur ;
- fAPP la fréquence du signal reçu par l’observateur fixe ;
- c la valeur de la célérité de l’onde sonore ;
- V la valeur de la vitesse de l’émetteur.
A la date t = 0, le véhicule E est à la distance D de l’observateur et émet un bip sonore.
Donner l’expression littérale de la date t1 de perception de ce premier bip par l’observateur O.
t1 = D/ c.
 Quelle est la distance d parcourue par le véhicule émetteur pendant la période T du signal émis ?
d = VT.
A cette date T, quelle est alors la distance entre le véhicule E et l’observateur O ?
D-d = D-VT.
A cette même date T, le véhicule émet un deuxième bip sonore.
A quelle date t2, l’observateur perçoit-il ce second bip ?
t2 = T + (D-VT) / c.
3) Quelle est la durée qui sépare les deux bips consécutifs captés par l’observateur ? Comment peut-on appeler cette durée ?
Période des bips reçus par l'observateur : TAPP=t2 -t1 = T-VT / c = T(1-V/c).
 Exprimer alors la relation liant f, fAPP, V et c pour un tel véhicule se rapprochant de l’observateur.
Le son perçu par l’observateur lui semble-t-il plus grave ou plus aigu que le son émis ?
fAPP = 1/TAPP =f /(1-V/c).
fAPP > f, le son perçu est plus aigu.
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Quelle est l’expression littérale de la valeur de la vitesse V de l’émetteur, en fonction de la célérité
du son c, de la fréquence f du signal produit, et de la fréquence fAPP du signal perçu ?
1-V/c = f / fAPP ; V = c(1-f / fAPP).
La loi établie par Christian Doppler en 1842 trouva des applications inattendues lorsqu’un physicien français, Hippolyte Fizeau (1819-1896) décida de l’appliquer aux ondes électromagnétiques et notamment à la lumière.
Comment est-il possible de déterminer si une galaxie s’approche ou s’éloigne du système solaire ?
Si une galaxie s'éloigne du système solaire, on observe un décalage vers le rouge, appelé "redshift" , du spectre de la lumière émise par l'étoile.
Quelle conception de l’origine de l’Univers l’effet Doppler-Fizeau permet-il de valider ?
 Preuve de l'expansion de l'univers.

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Descente acrobatique.
Un skieur descend une piste rectiligne AB, de longueur L1, qui fait un angle a avec l’horizontale. Toute la suite de son parcours se situera dans le même plan vertical pris pour plan de figure. On assimile le skieur a un point matériel M, de masse m, qui se déplace sur ABCDEF. On néglige la résistance de l’air et on travaille dans le référentiel terrestre que l’on suppose galiléen. Données : L1 = 200 m ; a = 20° ; r = 50 m ; m = 70 kg ; g = 10 m s-2.

Piste enneigée AB :
Sur cette partie de la piste on considère que la force de frottement est portée par la droite AB, opposée au sens du mouvement et a une valeur constante f.
 Le skieur part de A avec une vitesse nulle ; il arrive en B avec la vitesse VB.
Etablir l’expression littérale de l’intensité f de la force de frottement en fonction de m, g, L1 , a et VB.
Variation de l'énergie cinétique du skieur : ½mv2B.
Le skieur est soumis à son poids, à la force de frottement et à l'action normale du plan. Cette dernière étant perpendiculaire au plan, son travail est nul.
Travail moteur du poids en escente : mg L1 sin a.
Travail résistant des frottements : - f L1.
Théorème de l'énergie cinétique entre A et B : ½mv2B = mg L1 sin a -f L1.
f = mg  sin a -½mv2B / L1.
Calculer cette intensité pour VB = 15 m s-1.
f = 70 (10  sin 20 -0,5*152 / 200)=200 ~2,0 102 N.
Piste verglacée BCDE :
On néglige tous les effets dus aux changements brusques de pente en B, C ou E. Sur cette partie de la piste on considère que la force de frottement est nulle.
La partie BC de la piste est horizontale et de longueur L2 = 50 m.
Faire le bilan des forces sur cette portion de piste et montrer que la vitesse en C est égale à la vitesse en B.
Le skieur est soumis à son poids et à l'action normale du plan. Ces deux forces étant perpendiculaires à la vitesse, ne travaillent pas. L'énergie cinétique, et en conséquence la vitesse du skieur, ne sont pas modifiées.
La partie CDE de la piste est un arc de cercle de rayon r = OC = OD = OE (avec OC vertical et OEF horizontal). Sur cette partie CDE, on repère le point D par l’angle ß que fait OD avec la verticale.
Trouver l’expression du carré de la vitesse de M en D, V2D , en fonction de VB , r , g et cos ß.
Variation de l'énergie cinétique du skieur :  ½mv2D -½mv2B.
Travail moteur du poids : mgr(1-cos ß). L'action normale au plan ne travaille pas.
Théorème de l'énergie cinétique entre C et D : ½mv2D -½mv2B = mgr(1-cos ß). v2D =v2B +2gr(1-cos ß).
 En utilisant l’expression de la composante normale de l’accélération pour un mouvement circulaire, établir l’expression de l’intensité R de la réaction qu’exerce la piste sur le skieur au point D , en fonction de VD, m , g, r et ß. En déduire finalement R en fonction de VB , g , r et ß.

Suivant n : mg cos ß -R= mv2D / r ; R = m(g cos ß-v2D / r ). R = m( g(-2+3cos ß)-v2B / r).
Le skieur commence à s’inquiéter sérieusement de ce qui va lui arriver en E lorsqu’il se rend compte qu’il est en train de quitter le sol !
Calculer la valeur numérique ß0 de l’angle ß pour lequel le point M quitte la piste CE.
R=0 dès que le skieur quitte la piste. g(-2+3cos ß0)=v2B / r ; 3cos ß0=v2B / (gr) +2 ;
cos ß0=(v2B / (gr) +2) / 3 = (225 / 500 +2) / 3 = 0,817 ; ß0 = 35°.

Phase aérienne du mouvement :
Le skieur ayant quitté la piste CE, il n’est plus soumis qu’à son poids.
Quel angle fait alors sa vitesse avec l’horizontale (lors de son décollage) ? ß0 =  35°.
Quelle est la valeur de sa vitesse (lors de son décollage) ?
vD =(v2B +2gr(1-cos ß0) )½= (225 +2*10*50(1-cos 35))½=20,2 ~20 m/s.
Quelles sont les coordonnées de D0, point de décollage ? On prendra l’origine en O.
x0 = r sin ß0 = 50 sin 35,2 =28,8~29 m ; y0 = r cos ß0=40,85 ~41 m.
Quel est la nature de son mouvement ultérieur ? Chute libre.
 Etablir l’équation de sa trajectoire.
On choisit un axe vertical orienté vers le haut, origine en O et un axe horizontal orienté vers la droite.
Accélération : (0 ; -g) ; vitesse initiale : ( 20,2 cos 35,2 ; -20,2 sin 35,2 ) soit ( 16,5 ; - 11,64) ; vitesse : (16,5 ; -gt-11,64 ) .
Position : x = 16,5 t +28,8 ; y = -½gt2 -11,64 t +40,85 ; y = -5t2 -11,64 t +40,85.
t = (x-28,8) / 16,5; repport dans y : y = -5(x-28,8)2/ 16,52-11,64 (x-28,8) / 16,5 +40,85.
y = -0,0184 x2 +0,352 x+ 45,93.
A quelle distance du point E touche-t-il le sol (sur la partie horizontale EF) ?
y=0 au sol : résoudre -0,0184 x2 +0,352 x+ 45,93 = 0.
D = 0,3522+4*45,93*0,0184=3,50 ; x = (-0,352 -1,87) / (-2*0,0184)=60,4 m.


  

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