Pompe à chaleur, triphasé, hydraulique Concours ingénieur territorial 2015

Pompe à chaleur, triphasé, hydraulique Concours ingénieur territorial 2015

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Pompe à chaleur ( PAC).
Cette PAC fonctionne entre deux sources de chaleur : une rivière qui constitue la source froide et
l'eau du circuit de chauffage qui constitue la source chaude. Le fluide utilisé dans cette PAC sera de l'air assimilé à un gaz parfait (constante R=8,32 J/( K. mol ), capacité thermique molaire à pression constante C_p=29,1 J/(K.mol ) ; rapport des capacités thermiques molaires à pression constante C_p et à volume constant C_v : g = C_p/C_v = 1,4).
Le fluide de la PAC décrit le cycle de transformations réversibles suivant :
- Passage de l'état 1(P₁ = 1,0 10⁵ Pa ; V₁ ; T₁ =298 K ) à l'état 2 (P₂ = 2,2 10⁵ Pa ; V₂ ; T₂ ) par une compression adiabatique dans un compresseur:
- Passage de l'état 2 à l'état 3 (P₂ = P₃ ; T₃ =340 K ) par une transformation isobare pendant laquelle l'air reçoit de la source chaude une quantité de chaleur Q₁.
Passage de l'état 3 à l'état 4 (P₄ = P₁ ; T₄ ) par une détente adiabatique :
- Passage de l'état 4 à l'état 1 (P₄ = P₁ ; T₄ ) par une transformation isobare pendant laquelle l'air reçoit de la source froide une quantité de chaleur Q₂.
On effectuera les calculs pour une mole d'air.
Construire le diagramme de P,V (ou diagramme de Clapeyron), sans échelle particulière. Y placer
les points 1, 2, 3 et 4. Avons-nous affaire à un cycle moteur ou résistant Justifier graphiquement
votre réponse).

Calculer les volumes V₁ et V₂.
Loi des gaz parfaits ( pour une mole ) :
V₁ = RT₁ / P₁ =8,32 *298 / 10⁵ =2,4794 10^-2 ~2,48 10^-2 m³.
Pour une transformation réversible adiabatique :
P₁V₁^g = P₂V₂^g ; V₂ = V₁(P₁/P₂) ^1/g =2,4794 10^-2 (1 / 2,2)^{1 / 1,4} =1,4117 10^-2 ~1,41 10^-2 m³.

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Calculer les températures T₂ et T₄.
Loi des gaz parfaits ( pour une mole ) :
T₂ = P₂V₂ / R =2,2 10⁵ *1,4117 10^-2 / 8,32=373,28 ~373 K.
On pose ß = (1-g) / g = -0,4 / 1,4 = -0,2857.
Pour une transformation réversible adiabatique :
P₃^ß T₃ = P₄^ß T₄ ; T₄ =(P₃/ P₄)^ß T₃ =2,2^-0,2857 *340 =271,42~271 K.
Pour chaque cycle décrit par une mole d'air, calculer :
Les quantités de chaleur Q₁ et Q₂ et le travail W reçu au cours de la totalité du cycle.
Transformation isobare : Q₁ = C_p(T₃-T₂) =29,1 (340 -373,28) =968,45 ~= -968 J mol^-1.
Q₂ = C_p(T₁-T₄) =29,1 (298 -271,42) =777,55 ~778 J mol^-1.
Premier principe de la thermodynamique, sur le cycle l'énergie interne de l'air ne varie pas.
W +Q₁ + Q₂ =0 ; W = - Q₁- Q₂ = 968,45 -777,55 ~191 J mol^-1.
L'efficacité de la pompe, notée e, est le rapport de la quantité de chaleur reçue par la source
chaude au cours d'un cycle décrit par le fluide (ici l'air ), et du trava il reçu par ce fluide (l'air) au
cours de ce même cycle. Exprimer e en fonction de Q₁ et de W. Calculer sa valeur.
e = |Q₁| / W = 968,45 / 191 ~5,1.

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Triphasé.
Une salle de spectacle municipale comprend :
- un dispositif d'éclairage composé de 12 projecteurs, considérés comme purement résistifs, d'une puissance de 1 ,5 kW chacun, commandés par un interrupteur simple.
- un moteur électrique triphasé (couplé en triangle) de puissance utile 18 kW, de rendement h=75% et d'un facteur de puissance de 0,7.
L'alimentation se fait par un réseau triphasé 230/400V-50Hz. On fait l'hypothése que le réseau est équilibré.
Dessiner (sans les appareils de protection et d'une maniére succincte) le schéma de l'installation.

Calculer les puissances actives, réactives et apparentes du dispositif d'éclairage, puis du moteur et enfin de l'installation compléte (dispositif d'éclairage + moteur). Présenter les résultats sous forme de tableau ordonné.
cos f = 0,7 ; tan f = 1,02

Appareil P(kW) Q(kvar) S(kVA)

Projecteurs 1,5*12=18 0 18

Moteur 18 / 0,7=25,71 25,71 * tan f =26,23 25,71 / cos f =36,73

Installation 43,71 26,23 50,97

En déduire le facteur de puissance de l'installation. On désire le relever afin de réduire de 30% la puissance réactive de l'installation. Proposer une solution et dimensionner le ou les éléments nécessaire(s) à cette modification.
Facteur de puissance de l'installation : P_totale / S_totale =43,71 / 50,97= 0,857 ~0,86.
Installer 3 condensateurs ( capacité C) en parallèle, montés en triangle, sur l'installation. P_totale reste inchangée, Q diminue de 26,23 *0,30 = 7,87 kvar.
Puissance réactive des condensateurs : - 3^½ Cw U² = -7,87 10³ var avec w = 2 p f =314 rad / s.
C = 7,87 10³ / ( 3^½ *314*400²) =9,0 10^-5 F.

Mécanique - hydraulique.
Une installation à base de 5 jets d'eau fonctionnant simultanément est placée sur le parvis d'une mairie.
Les 5 jets d'eau atteignent des hauteurs différentes (10 m, 8 m, 6 m, 4 m et 2 m), considérés comme parfaitement verticaux. L'ensemble est alimenté par une électropompe monophasée branchée sur le réseau (230V-50Hz), de facteur de puissance 0,80 et de rendement optimal 90%. On considère un fonctionnement en ce point nominal et l' intensité du courant absorbé par cette électropompe est de 25 A. Elle fournit une pression de 10 bars. On néglige les pertes de charge et les frottements sur toute la canalisation. On néglige la résistance de l'air. On prendra comme valeur pour l'accélération de la pesanteur : g=10 m.s^-2 La canalisation ainsi que les 5 buses ont une forme parfaitement cylindrique.

Calculer les 5 vitesses à la base des buses: V₁,V₂, V₃, V₄ et V₅.
Conservation de l'énergie mécanique du jet d'eau entre la base et le sommet :
½mv_i² = mgh_i avec i = 1, 2, 3, 4, 5 ; vi = (2gh_i)^½.
v₁ =(2*10*10)^½ =14,14 ~14 m/s.
v₂ =(2*10*8)^½ =12,65 ~13 m/s.
v₃ =(2*10*6)^½ =10,95 ~11 m/s.
v₄ =(2*10*4)^½ =8,94 ~8,9 m/s.
v₅ =(2*10*2)^½ =6,32 ~6,3 m/s.
Calculer le débit volumique (supposé constant) de la pompe en L min^-1 (litres par minute).
Puissance électrique de la pompe : P_élec= UI cos f =230*25*0,80 = 4,6 10³ W.
Puissance utile : P_utile =P_élec* rendement =4,6 10³ * 0,90 = 4,14 10³ W.
Débit volumique Q_v =P_utile/ Pression= 4,14 10³ /10⁶ =4,14 10^-3 m³ s^-1 = 4,14 L s^-1 =4,14*60 =248,4~2,5 10² L min^-1.
En déduire le diamétre des buses considérées comme identiques.
Conservation du débit volumique : Q_v =pD_b² /4 v₁ +pD_b² /4 v₂ +pD_b² /4 v₃ +pD_b² /4 v₄ +pD_b² /4 v₅ ;
D_b=2(Q_v / ( p(v₁+v₂+v₃+v₄+v₅)))^½ =2(4,14 10^-3 /(3,14(14,14+12,65+10,95+8,94+6,32)))^½=9,97 10^-3 m ~1,0 cm.
Calculer uniquement pour la buse 1, le temps que mettra l'eau pour retomber au sol. Calculer également la vitesse de l'eau au moment de l'impact avec le sol (lors de la retombée).
h₁ = ½gt² ; t = (2h₁ /g)^½ =(2*10 / 10)^½ =1,414 ~1,4 s.
v = gt = 10 *1,414 ~14 m/s.

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