Mathématiques. Concours Aspts Lille 2014

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1. Effectuer le calcul suivant. Donner la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Un philatéliste possède 1631 timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c'est à dire comportant le même nombre de timbre et la même répartition de timbres français et étrangers. Calculer le nombre maximal de lots qu'il pourra constituer.
1631 =7*233 ; 932 =4*233.
Il peut constituer 233 lots contenant chacun 7 timbres français et 4 timbres étrangers.
3. Deux trains effectuent le trajet Paris Nantes. Un train corail part de Paris à 14 h et roule à 120 km/h. Un TGV part de Paris à 15 h et roule à 300 km/h. A quelle distance de Paris le TGV ratrappe-t-il le train corail ?
Soit x la distance parcourue par chaque train.
x= 120 t ; x = 300(t-1) ; t =x / 120 ; x =300(x / 120 -1).
x =300 / 120 x -300 ; x=2,5 x -300 ; 1,5 x = 300 ; x = 200.
4. Ecrire un système de deux équations à 2 inconnues pour trouver le rayon des disques et la largeur du cadre.

Calculer les dimensions du cadre intérieur de deux manières différentes :
Longueur du cadre intérieur : 54-2x = 4y.
Largeur de ce cadre : 30-2x = 2 y.
27-x=2y  ; 27-x=30-2x ; x=3 et y = 12.
5. Quelles expressions ne sont pas des identités remarquables ?
4x2+2x+1. Ce n'est pas une identité remarquable.
9x2-6x+1 = (3x-1)2.
x2-81 =(x+9)(x-9).
16x2+8x+4. Ce n'est pas une identité remarquable.
6. Un bassin est alimenté par deux fontaines dont le débit est constant. Si on laisse couler la première fontaine pendant 4 heures et la seconde pendant 3 heures, la quantité d'eau recueillie au total est de 55 L. Si on laisse couler la première fontaine pendant 3 heures et la seconde pendant 4 heures, la quantité d'eau recueillie au total est de 57 L. Calculer le débit de chaque fontaine.
x et y : débits des fontaines en litre par heure.
4x +3y =55 et 3x+4y = 57.
12x + 9y =165 et 12x + 16y =228.
Soustraire : 16y-9y =228-165 ; 7y = 63 ; y = 9 L / h.
 Puis 4x+3*9 =55 ; 4x =55-27 = 28 soit x = 7 L/ h.
Sachant que le bassin peut contenir 320 litres, combien de temps faudra t-il pour le remplir si les deux fontaines coulent en même temps ?
320 / (9+7) = 20 heures.
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7. Une mouche située en M voit arriver sur elle une balle de 10 cm de diamètre. Sachant qu'elle se trouve à une distance MH de 7 cm de cette balle, calculer sous quel angle elle voit cette balle.

sin a = OH / OM = 5 / (7+5) =0,417 ; a = 24,6° puis 2*24,6 ~49,2°.
8. L'unité de longueur est le centimètre. On considère un triangle ABC et un parallélogramme MNCP. Le but du problème est de trouver AM pour que le périmètre du parraalélogramme MNCP soit égal à 11. On donne BC =6 ; AB =8 ; AC=5.

Périmètre du parallélogramme : 2MN + 2NC=11 ; MN+NC = 5,5.
Relation de Thalès :AC / AN = BC / MN = AB / AM.
MN = BC . AM / AB = 6 AM / 8 =0,75 AM.
AN =AC . AM / AB =5 AM /8 =0,625 AM.
NC = AC-AN =5-0,625AM.
0,75 AM +5-0,625 AM = 5,5.
0,125 AM = 0,5 ; AM = 0,5 / 0,125 ; AM= 4.

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9. Une machine est réglée afin de fabriquer des allumettes d'une longueur moyenne de 5 cm. Régulièrement, on doit effectuer un contrôle statistique pour vérifier si la machine ne s'est pas déréglée. On considère que la machine est bien réglée si les deux critères suivants sont respectés :
-Critère de position : la longueur moyenne de l'allumette est comprise entre 49 mm et 51 mm.
- Critère de dispersion : au moins 90 % de l'effectif total des allumettes  a une longueur comprise entre 0,95 L et 1,05 L ( ou L est la longueur moyenne d'une allumette).
Voici le relevé fait lundi mtin :
Longueur ( mm) 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
Effectif 6 11 15 19 89 101 208 302 200 22 13 9 5
Calculer L en mm. Le critère de position est-il respecté ?
Effectif total : N=6+11+15+19+89+101+208+302+200+22+13+9+5=1000
L =(44*6 +45*11 +46*15 +47*19 +48*89 +49*101 +50*208  +51*302 +52*200 +53*22 +54*13 +55*9 +56*5) / 1000 .
L =(264 + 495 + 690 + 893 + 4272 + 4949 + 10400 + 15402 + 10400 +1166 + 702 + 495 +280) / 1000 =50,41. L ~ 50,4 mm. Le critère de position est vérifiée.
Calculer 0,95 L et 1,05 L. En déduire le nombre d'allumettes qui ont une longueur comprise entre 0,95 L et 1,05 L.
0,95L =0,95*50,41 =47,89 ~ 47,9 mm
1,05 L = 1,05*50,41 =52,93 ~52,9 mm.
Nombre d'allumettes ayant une longueur comprise entre 47,9 mm et 52,9 mm :
89 +101 +208 +302 +200 = 900.
Le critère de dispersion est-il respecté ? La machine est-elle bien réglée ?
900/100 =0,9 ( 90 %). Le critère de dispersion est respecté. Les deux critères étant respectés, la machine est bien réglée.
Voici le relevé fait mardi matin :
Longueur ( mm) 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
Effectif 4 26 11 26 103 101 297 302 200 22 13 9 5
Quel critère n'est pas respecté ? Montrer que la machine n'est pas bien réglée.
Effectif total : N=4+26+11+26+103+101+297+302+200+22+13+9+5=1119
L =(44*4 +45*26 +46*11 +47*26 +48*103 +49*101 +50*297  +51*302 +52*200 +53*22 +54*13 +55*9 +56*5) / 1119 .
L =(176 + 1170 + 506 + 1222 + 4944 + 4949 + 14850 + 15402 + 10400 +1166 + 702 + 495 +280) / 1000 =50,28. L ~ 50,3 mm. Le critère de position est vérifiée.
0,95L =0,95*50,28 =47,8 mm ; 1,05 L = 1,05*50,28 =52,8 mm
Nombre d'allumettes ayant une longueur comprise entre 47,9 mm et 52,9 mm :
103 +101 +297 +302 +200 = 1003.
1003/1119 =0,896 ( 89,6 %). Le critère de dispersion n'est pas respecté. Un seul critère étant respecté, la machine n'est pas bien réglée.




  

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