Probabilité, test d'hypothèse. Bts chmiste 2015.

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Partie I.
Soit X la variable aléatoire mesurant la durée de vie, en jours, d’un atome radioactif d’iode 131 avant sa désintégration. X suit une loi exponentielle de paramètre l= 0,087 (exprimé en jour−1).
1. a. Montrer que P(X <= 6) = 1−e−0,522 et en donner une valeur approchée arrondie à 0,01.
b. Donner de même une valeur arrondie à 0,01 de P(X<=4).

2. Soient les évènements suivants concernant un atome d’iode 131 :
E : « sa durée de vie est d’au moins 6 jours ».
F : « sa durée de vie est d’au moins 4 jours ».
a. Que représente l’évènement E∩F ? Déterminer sa probabilité.
La partie commune est " la durée de vie d'un atome d'iode 131 est d'au moins 6 jours".
Probabilité q'un atome d'iode ne soit pas désintégré au bout de 6 jours :
1-0,41 = 0,59.
b. Calculer la probabilité qu’un atome d’iode 131 ait une durée de vie d’au moins 6 jours, sachant qu’il n’a pas été désintégré au bout de 4 jours.
Probabilité qu'un atome ne se soit pas désintégré au bout de 4 jours :1-0,29 = 0,71.
3. Déterminer le réel t tel que P(X <= t ) = 0,5, on donnera la valeur exacte de t puis une valeur approchée arrondie à l’unité.
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Partie II
Un laboratoire pharmaceutique commercialise des ampoules contenant de l’iode 131.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque ampoule, associe la masse d’iode 131, en mg, contenue dans un millilitre de solution.
On considère que X suit une loi normale demoyenne µ et d’écart-type s.
A : Probabilités.
Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne
rapporte ni n’enlève de point.
Pour les deux premières questions, on pose µ = 370 et s = 1,2.
1. Une ampoule est commercialisable si la masse d’iode par mL est comprise entre 368 et 372.
La probabilité arrondie à 0,001, qu’une ampoule soit non commercialisable est égale à :
0,201 ; 0,096 ( vrai) ; 0,052.
 p(368 <= C <=372) = p(-1,67 <= (C-m) / s <=1,667).
(C-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(1,667)-1.
Les tables donnent P(1,667) =0,952.
Probabilité pour qu'une ampoule soit conforme : 2P(1,67)-1 =2*0,952-1 = 0,904.
Probabilité pour qu'une ampoule soit non conforme 1-0,904 =0,096.
2. Soit a le réel tel que P(370−a <= X  <=370+a) = 0,95.
Une valeur arrondie à 0,01 de a est égale à : 2,35 ( vrai ); 2 ; 3,53.
Les tables donnent t = 1,96 ; a = s t = 1,2*1,96 =2,35.









Pour les questions suivantes, on arrondit la probabilité p qu’une ampoule soit non commercialisable àla valeur p = 0,1.
On prélève au hasard un échantillon de 100 ampoules. La production est assez importante pour que l’on assimile le prélèvement à un tirage avec remise. On désigne par Y la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 ampoules, associe le nombre d’ampoules non commercialisables.
Y suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,1 ( q =0,9).
3. Soit P1 la probabilité qu’il y ait exactement une ampoule non commercialisable dans l’échantillon.
Une valeur arrondie à 10−6 de P1 est égale à : 2,95 10-4 ( vrai ) ; 0,1 ; 0,09.
P1 = C1100 p q99 =100*0,1*0,999 =2,95 10-4.
4. Soit P2 la probabilité qu’il y ait au moins deux ampoules non commercialisables dans l’échantillon.
Une valeur de P2 arrondie à 10−4 est égale à :0,01 ; 0,9997 (vrai); 0,9984.
P2 = 1-P(0)-P(1).
P(0) =C0100 p0 q100 =1*1*0,9100 =2,656 10-5.
P2 = 1-2,656 10-5-2,95 10-4 =0,9997.
5. On considère que la loi Y est approchée par une loi de Poisson de paramètre l.
Quelle valeur de l semble être la plus appropriée ? 0,1 ; 10(vrai) ; 3,1,16.
l = np =100*0,1 = 10.
B : Test d’hypothèse.
Dans cette question, on suppose que s = 1,2.
Le laboratoire indique que chaque ampoule contient 370 mg d’iode 131 par mL.On se propose de construire un test bilatéral permettant d’accepter ou de refuser cette affirmation, au risque 5%.
On désigne par µ la moyenne en mg de la masse d’iode 131 contenue dans une ampoule. On prélève au hasard un échantillon de n ampoules, la production étant assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On prendra pour hypothèse nulle H0 : µ = 370 et pour hypothèse alternative H1 : µ diffère de 370.
Soit Xn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de n ampoules prélevées au hasard, associe la masse moyenne d’iode 131 par mL contenue dans ces n ampoules. On admet que Xn suit la loi normale demoyenne µ et d’écart-type s' =1,2 /n½.
1. Dans cette question, on prend n = 100.
X100 suit donc la loi normale de moyenne µ et d’écart-type  0,12.
a. Déterminer le réel h tel que, sous l’hypothèse H0, P(370−h <= X<=370+h) = 0,95. On donnera une valeur approchée de h arrondie à 10−3.
Les tables donnent t = 1,96. h = s't= 0,12*1,96 =0,2352 ~0,235.
b. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test.
Si la moyenne  de l'échantillon appartient à l'intervalle [ 369,765 ; 370,235], l'hypothèse H0 est valide, sinon H1 est valide.
c. Pour un échantillon de 100 ampoules prélevées au hasard, la masse moyenne d’iode 131 par mL est x = 370,4.
Peut-on considérer, au risque 5%, que µ = 370 ?
370,4 n'appartient pas à [ 369,765 ; 370,235], H1 est valide ou bien la moyenne diffère de 370 mg.
2. Le but de cette question est de trouver à partir de quelle valeur de l’effectif n, on a P (370−0,2<= Xn moyen <= 370+0,2)> 0,95 où Xn moyen suit la loi normale de moyenne 370 et d’écart-type 1,2 /n½.
a. Compléter, à l’aide de la calculatrice, le tableau donné en Annexe 1 à rendre avec la copie.
b. En déduire la valeur n cherchée.
n s'=1,2 / n½ P (370−0,2<= Xn moyen <= 370+0,2)
120 0,1095 0,9321
138 0,10215 0,9494
139 0,10178 0,9506
140 0,10142 0,9516
Xn moyen / s' suit la loi normale centrée réduite : 2P(0,2 /s' )-1 =2P(1,826)-1
Les tables donnent P(1,826) =0,966.
 2P(1,826)-1 =2*0,966-1 = 0,9321.
Xn moyen / s' suit la loi normale centrée réduite : 2P(0,2 /s' )-1 =2P(1,9566)-1
Les tables donnent P(1,956) =0,9747.
 2P(1,956)-1 =2*0,9747-1 = 0,9494.
Xn moyen / s' suit la loi normale centrée réduite : 2P(0,2 /s' )-1 =2P(1,965)-1
Les tables donnent P(1,965) =0,9753.
 2P(1,965)-1 =2*0,9753-1 = 0,9506
Xn moyen / s' suit la loi normale centrée réduite : 2P(0,2 /s' )-1 =2P(1,972)-1
Les tables donnent P(1,972) =0,9758.
 2P(1,972)-1 =2*0,9758-1 = 0,9516


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