Loi
binomiale, loi normale, test. Bts maths groupe C 2014.
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Une
société est spécialisée dans la fabrication de bouteilles d’eau plate.
On effectue différents types de tests de contrôle de qualité afin de
vérifier que les bouteilles sont conformes aux normes en vigueur.
Partie
1.
Un premier type de test est effectué sur les préformes à l’issue de
l’étape 1 de fabrication.
On estime qu’il y a 0,5% des préformes non conformes aux normes
établies.
Soit X la variable aléatoire qui, à tout lot de 80 préformes prélevées
au hasard dans la production, associe le nombre de préformes non
conformes. La production de la société est suffisamment importante pour
que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.
1.
Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Chaque prélèvement d’une préforme est une épreuve de Bernoulli, avec
les deux
évènements contraires :
succès : une préforme est non conforme p = 0,005 ;
échec : une préforme est conforme q = 1-p = 0,995.
Cette épreuve est répétée 80 fois ( n = 80 ) et les
épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage
avec remise. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de
paramètres n =80 et p=0,005.
2.
Calculer la probabilité qu’il y ait une seule préforme non conforme
dans un lot de 80.
p(X=1) = Cn1 p
qn-1 = 80 *0,005 *0,99579 = 0,269.
3.
Calculer la probabilité qu’il y ait plus d’une préforme non conforme
dans un lot de 80.
p(X=0)
= Cn0 p0
qn = 1*1 *0,99580 = 0,66964.
1-p(X=1) -p(X=0)=1-0,269-0,66964 =0,061.
Partie 2.
Le four infrarouge se dérègle au cours du
temps. Le réglage ne pouvant être corrigé dans l’immédiat, la société
désire évaluer les conséquences de ce dysfonctionnement.
Elle décide de relever chaque jour, sur un échantillon, le pourcentage
de bouteilles touchées par ce problème. On obtient le tableau suivant :
| Jour
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| %
bouteilles défectueuses yi |
0,8 |
1,3 |
1,4 |
1,7 |
2,1 |
2,2 |
1. Donner une
équation de la droite de régression de y en x par laméthode des
moindres carrés. (Les coefficients seront arrondis à 10−3).
y = 0,277 x
+0,613.
2.
On admet que l’évolution du pourcentage de bouteilles défectueuses se
poursuit de la même manière dans les jours suivants. Estimer le
pourcentage de bouteilles défectueuses produites le neuvième jour.
y = 0,277 *9 +0,613=3,1 %.
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Partie 3.
Une série de tests, concernant entre-autres la résistance des
bouteilles et l’épaisseur de matériau à utiliser, est effectuée à
l’issue de l’étape de soufflage sur des échantillons de 100 bouteilles
prélevées au hasard.
Chaque bouteille prélevée est placée sous un plateau de compression.
Une force verticale est appliquée avec une vitesse constante provoquant
la déformation de la bouteille.
Un dynamomètre
permet de mesurer la charge de compression verticale, c’est-àdire
l’intensité maximale de la force exercée pendant le test jusqu’à ce que
la bouteille se déforme visiblement . Elle est exprimée en Newtons.
On désigne par C la variable aléatoire qui, a toute bouteille prélevées
dans la production
associe la charge de compression verticale infligée lors du test. On
admet que C suit une loi normale de moyenne m et d’écart type 1.
1.
Dans cette question, on suppose que m = 30. Une bouteille est déclarée
conformelorsque la charge de compression verticale infligée lors du
test est comprises entre 28 et 32 Newtons.
Calculer la probabilité qu’une bouteille prélevée au hasard dans la
production soit conforme.
p(30 <= C <=320) = p(-2 <= (C-m)
/ s
<=2).
(G-m) / s suit
la loi normale centrée réduite : 2P(2,0)-1.
Les tables
donnent P(2,0) =0,9772.
Probabilité pour qu'une
bouteille
soit conforme : 2P(2,0)-1 =2*0,9772-1 = 0,9544~0,954.
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2.
Pour des raisons écologiques, la société vient demettre au point un
nouveau modèle de bouteille en plastique de plus faible épaisseur. On
souhaite tester si les bouteilles sont toujours aussi résistantes.
On
construit un test bilatéral de validité d’hypothèse, destiné à savoir
si l’on peut considérer, au seuil de 5%, que la charge moyenne de
compression verticale sur l’ensemble de la production de bouteilles est
égale à 30 Newtons.
Soit C la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100
bouteilles de la production, associe la charge moyenne de compression
verticale infligée lors du test.
On admet que C suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type 0,1.
On choisit l’hypothèse nulle H0 : «m = 30 ».
a.
Donner l’hypothèse alternative H1.
" m diffère de 30".
b.
Sous l’hypothèse H0 : «m = 30 », calculer le
réel a tel que P(30−a <= Cmoyen
<=30+a) = 0,95.
Les tables
donnent t = 1,96.
L'intervalle de confiance est donc :
[30-1,96 * 0,1 ; 30+1,96*0,1
] soit [29,80 ;
30,20].
c.
Énoncer la règle de décision de ce test.
On détermine la
moyenne sur un prélevement de 100 bouteilles dans la production, puis
on vérifie que la charge moyenne appartient à l'intervalle [29,80
; 30,20].
d.
On prélève au hasard un échantillon de 100 bouteilles dans la
production.
La charge moyenne de compression verticale sur cet échantillon est de
29,4 Newtons.
Peut-on conclure, au seuil de 5%, que la charge moyenne de compression
verticale sur l’ensemble de la production de bouteilles est égale à 30
Newtons ?
29,4
n'appartient pas à l'intervalle [29,80
; 30,20] ; l'hypothèse H0 est rejetée.
L'hypothèse H1 est valide.
Au seuil de 5%, la charge moyenne de compression verticale
sur l’ensemble de la production de bouteilles n’est pas égale
à 30 Newtons.
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