Loi binomiale, loi de Poisson. Bts maths groupe B 2014.
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Un fournisseur d’accès à Internet étudie les défaillances de son système de transmission par ADSL.
A. Évènements indépendants.
On considère que les défauts d’éligibilité à l’ADSL sont dus à deux causes principales :
— le diamètre des fils de cuivre utilisés entre le central et le domicile de l’abonné est trop faible (inférieur à 0,4 mm) ;
— la distance entre le domicile de l’abonné et le central téléphonique est trop importante.
On
considère un abonné pris au hasard dans un département donné. On note A
l’évènement « le diamètre des fils de cuivres entre le central et le
domicile de cet abonné est trop faible», et B l’évènement « la distance
entre le domicile de cet abonné et le central téléphonique est trop
importante ».
Une étude statistique permet d’admettre que les probabilités des évènements A et B sont : p(A)= 0,02 et p(B) = 0,085.
On suppose que les évènements A et B sont indépendants.
Calculer la probabilité des deux évènements suivants :
1. E1 : « la ligne téléphonique de l’abonné possède les deux défauts d’éligibilité à l’ADSL ».
Les évenements sont indépendants : p(E1) = p(A) p(B) =0,02 *0,085 = 0,0017.
2. E2 : « la ligne téléphonique de l’abonné possède au moins un des deux défauts d’éligibilité à l’ADSL ».
p(E2) =p(A) +p(B) -p(A) p(B) =0,02 +0,085 -0,0017 =0,1033.
B. Loi binomiale et loi de Poisson.
Les
données utilisateur sont transmises par trames de 53 octets.Dans une
connexion, on prélève une trame au hasard. La connexion est
suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage au
hasard et avec remise de 53 octets parmi l’ensemble des octets transmis
lors de la connexion.
On suppose que la probabilité qu’un octet
prélevé au hasard dans la connexion contienne une erreur est 0,03. On
considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 53 octets
ainsi défini, associe le nombre d’octets contenant une erreur.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli, avec
les deux évènements contraires :
succès : un octet contient une erreur p = 0,03 ;
échec : un octet est conforme q = 1-p = 0,97.
Cette épreuve est répétée 53 fois ( n = 80 ) et les
épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage
avec remise. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de
paramètres n =53 et p=0,03.
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2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun octet ne contienne une erreur.
p(X=0)
= Cn0 p0
qn = 1*1 *0,9753 =0,199.
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus trois octets contiennent une erreur.
p(X=1)
= Cn1 p1
qn-1 = 53*0,03 *0,9752 =0,3262.
p(X=2)
= Cn2 p2
qn-2 = 53*52 / 2*0,032 *0,9751 =0,2623.
p(X=3)
= Cn3 p3
qn-3 = 53*52*51 / (2*3)*0,033 *0,9750 =0,1379.
p(X=0) + p(X=1) + p(X-2)+p(X=3)=0,926.
4. On considère que la loi suivie par X peut être approchée par une loi de Poisson.
Justifier que le paramètre de cette loi de Poisson est l= 1,59.
On conserve l'espérance l = np = 53*0,03 =1,59.
5. On désigne par Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre l= 1,59.
Calculer, à l’aide de la calculatrice :
a. P(Y = 0) = e-1,59*1,590 / 0! =0,204.
b. P(Y <=3) = P(Y = 0) +P(Y = 1) +P(Y = 2) +P(Y = 3).
P(Y =1) =e-1,59*1,591 / 1! =0,3242.
P(Y =2) =e-1,59*1,592 / 2! =0,2578.
P(Y =3) =e-1,59*1,593 / 3! =0,1366.
P(Y <=3) =0,923.
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C. Intervalle de confiance.
Dans
cette partie, on considère un stock de rouleaux de câbles de cuivre
destiné à la livraison à une entreprise d’installation de lignes
téléphoniques. On souhaite estimer la fréquence inconnue p des rouleaux
de ce stock ayant une section inférieure à 0,4mm.
On prélève un
échantillon aléatoire de 100 rouleaux dans ce stock. Ce stock est assez
important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage
avec remise de100 rouleaux.
On constate que seuls 4 rouleaux de cet échantillon ont une section inférieure à 0,4 mm.
1. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des rouleaux de ce stock ayant une section inférieure à 0,4 mm.
f =4 /100 = 0,04.
2. Soit
F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 rouleaux ainsi
prélevé dans ce stock, associe la fréquence des rouleaux de cet
échantillon ayant une section inférieure à 0,4 mm.
On suppose que F suit la loi normale demoyenne inconnue p et d’écart type [(p(1-p)]½ /10.
a. Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence p avec le coefficient de confiance 95%.
s = (0,04*0,96)½/10 =0,0196.
Les tables
donnent t = 1,96.
L'intervalle de confiance est donc :
[0,04-1,96 * 0,0196 ; 0,04+1,96*0,0196
] soit [0,0016 ; 0,0784].
b.
On considère l’affirmation suivante : « la fréquence p est
obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question 2.
a. ».
Cette affirmation est-elle vraie ?
Cette affirmation est fausse. La probabilité que la fréquence soit en dehors de cet intervalle est de 5 %.
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ans
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