Loi
exponentielle, loi normale, loi binomiale. Bts maths groupe B 2015.
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Une
entreprise fabrique et assemble des pièces métalliques pour l’industrie
aéronautique.
Elle conçoit en particulier des rivets flush (à tête fraisée), rivets
visibles depuis l’extérieur des
avions. Ce type de rivet permet de faire en sorte que la tête du rivet
affleure la surface de la tôle.
A
: Loi exponentielle.
Une
machine en charge de la fabrication de ces rivets doit régulièrement
être calibrée. On considère que la durée T de fonctionnement, exprimée
en heures, entre deux calibrages, est
une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre l =
0,005.
On rappelle que, pour tout nombre réel positif t, on a :
P(T <= t) = 1 – e-lt.
1°
Déterminer P(T <= 100).
P(T
<= 100) = 1-e(-0,005*100) = 0,3934~0,393.
2° On rappelle que
l’espérance E(T) de la variable aléatoire T est égale à E(T) =1/ l.
Calculer E(T). Interpréter ce résultat.
E(T)=1/0,005 = 200.
La durée moyenne de fonctionnement entre deux calibrages est de 200
heures.
B.
Loi binomiale etloi normale.
On
prélève au hasard un rivet dans un stock important. On note E
l’événement : « le rivet prélevé est non conforme ». On suppose que
P(E) = 0,01. Les rivets sont conditionnés par lots de 500. On prélève
au hasard 500 rivets. On suppose que le stock est suffisamment
important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On
note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 500 rivets ainsi
prélevé, associe le nombre de rivets non conformes de ce lot.
1°
Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Les prélevements
sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 500. La probabilité
qu'un rivet soit non conforme est constante p = 0,01. La probabilité
qu'un rivet soit conforme est q = 0,99.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 500 et p = 0,01.
2° a) Calculer, à
l’aide de la calculatrice, P(X = 0). Interpréter le résultat obtenu.
P(X=0) =C0500 q500 p0
=0,99500 =0,00657~0,007.
On a 7 chances sur 1000 qu'un rivet soit non comforme sur un lot de 500
rivets prélevés au hasard.
b) Calculer, à
l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’un lot de 500 rivets ainsi
prélevés
contienne au
plus 7 rivets défectueux.
P(X=0) + P(X=1) +P(X=2) +P(X=3) + P(X=4) +P(X=5) + P(X=6)+P(X=7).
P(X=1)
=C1500 q499 p1
=500*0,99499 *0,01 =0,0332.
P(X=2) =C2500 q498 p2
=500*499 /2*0,99498 *0,012
=0,0836.
P(X=3) =C3500 q497 p3
=500*499*498 / (2*3) *0,99497 *0,013
=0,1388.
P(X=4)
=C4500 q496 p4
=500*499*498*497/ (2*3*4) *0,99496 *0,014
=0,176.
P(X=5) =C5500 q495 p5
=500*499*498*497*496/ (2*3*4*5) *0,99495 *0,015
=0,176.
P(X=6)
=C6500 q494 p6
=500*499*498*497*496*495/ (2*3*4*5*6) *0,99494
*0,016 =0,147.
P(X=7) =C7500 q493 p7
=500*499*498*497*496*495*494/ (2*3*4*5*6*7) *0,99493
*0,017 =0,105.
P(X=0) + P(X=1) +P(X=2) +P(X=3) +
P(X=4) +P(X=5) + P(X=6)+P(X=7)=0,86.
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On admet que la loi
de probabilité de la variable aléatoire X peut être approchée par une
loi normale.
a)
Justifier que l’on peut considérer que cette loi normale a pour moyenne
5 et pour écart type 2,22.
Paramètres de la loi normale : m=E(X) = np = 500*001 = 5.
Ecart type s
= (npq)½ =(500*0,01*0,99)½
=2,22.
b)
On désigne par Y une variable aléatoire suivant la loi normale de
moyenne 5 et d’écart type 2,22.
Calculer, à l’aide de la calculatrice, P(Y<= 7,5).
Y suit
la loi normale N(m=5, s=2,22).
p(Y<=7,5) = p(0 < = (X-m) / s
<=(7,5-5) /2,2) =p(0
< = (X-m) / s
<= 1,136)
(Y-m)
/ s
suit la loi normale centrée réduite : 2P(2)-1.
Les tables donnent 0,871, valeur comparable à celle de la question 2b.
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C
: Test d'hypothèse.
On se propose de construire un test d’hypothèse pour contrôler la
moyenne µ de l’ensemble des diamètres, en millimètres, des rivets
constituant une prochaine livraison à effectuer. On note Z la variable
aléatoire qui, à chaque rivet prélevé au hasard dans la livraison,
associe son diamètre. La variable aléatoire Z suit une loi normale de
moyenne inconnue µ et d’écart type s =
0,15.
On désigne par Z la variable aléatoire qui, à chaque échantillon
aléatoire de 100 rivets prélevés dans la livraison, associe la moyenne
des diamètres de ces rivets. La livraison est suffisamment importante
pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec
remise.
L’hypothèse nulle H0 est : «µ = 45 », dans ce
cas la livraison est dite conforme pour le diamètre.
L’hypothèse alternative H1 est : « μ diffère de
45 ».
Le seuil de signification du test est fixé à 5 %.
1°
On admet que sous l’hypothèse nulle H0, la
variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne 45 et d’écart type
0,015. On souhaite déterminer, sous l’hypothèse nulle H0,
le réel positif h tel que P(45 – h <= Z <= 45 + h) = 0,95.
L'intervalle
de confiance est donc : [45-1,96 s ;
45+1,96 s
] soit h = 1,96 s
=1,96*0,015 = 0,0294 ~0,029.
2° Énoncer la règle
de décision permettant d’utiliser ce test.
On prélève un échantillon aléatoire de 100 rivets dans la livraison et
on détermine la moyenne des diamètres.
Si µ apartient à l'intervalle [ 49,97 ; 45,029], l'hypothèse H0
est valide avec un risque e 5 %, sinon c'est l'hypothèse H1
qui est valide.
3°
On prélève un échantillon aléatoire de 100 rivets dans la livraison et
on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est z =
45,031 mm. Peut-on, au seuil de 5 %, conclure que la livraison est
conforme pour le diamètre ?
Au seuil de 5 %, la livraison n'est pas conforme pour le diamètre, car
45,031 est en dehors de l'intervalle précédent.
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ans
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