Série de Fourier, transformée de Laplace. Bts maths groupe A 2014.

Série de Fourier, transformée de Laplace. Bts maths groupe A 2014.

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Exercice 1. Partie A.
On considère la fonction f , périodique de période T , dont une représentation graphique est donnée par la figure ci-dessous.

Le développement en série de Fourier de la fonction f est noté :
a₀ + S (a_n cos (npt) +b_n sin(npt)
1. Cette question est un QCM.
Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
a. La période T de la fonction f est :0,5 ; 1 ; 2 ( vrai ) ; 3.
b. Le coefficient b₁ vaut : -4 / p² ; 0 (vrai) ; 0,25.
La fonction f est paire ( symétrie par rapport à l'axe des y) , les coefficients b_n sont nuls.
c. Le nombre réel a₀ vaut : 0 ; 0,25 ; 0,5 (vrai) ; 12.

d. On donne l’égalité suivante
La valeur exacte du coefficient a₁ est :0 ; 4 /p² (vrai); 2 /p² ; 1 /p² .

Application de la formule de Bessel-Parseval.
2. On rappelle que la puissance moyenne P_f , par période du signal, modélisé par une fonction f de
période T est donnée par la relation suivante. Démontrer que P_f =1/3.

3. On note g_n la fonction définie, pour tout nombre entier n strictement positif par :

Compléter le tableau.

n 1 2 3 4 5 6

a²_n 0,1643 0 0,0020 0 0,0003 0

S_n 0,3321 0,3321 0,3321 +0,5 *0,0020
=0,3331 0,3331 0,3331 +0,5 *0,0003
=0,3333 0,3333

b. En déduire la plus petite valeur de l’entier n telle que la puissance moyenne par période de la
fonction g_n est supérieure ou égale à 0,999P_f .
0,999P_f =0,999*1/3 =0,333 ; donc n = 3.

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Partie B.
Soit t un nombre réel strictement positif.
On s’intéresse maintenant à la fonction e représentant un signal de même forme que celui de la partie A, mais dont la période, exprimée en seconde, est 2t et dont le graphe est représenté ci-après.

Ce signal est placé en entrée d’un filtre passe-bas (il s’agit d’un filtre de Butterworth d’ordre 6 et de fréquence de coupure 40 Hz). Le signal de sortie obtenu est modélisé par une fonction h.
1. On se place dans le cas où la fonction e est telle que t = 0,1.
La figure 1 du document réponse 1 donne une représentation graphique de la fonction h sur l’intervalle [−0,4 ; 0,4], obtenue à l’aide d’un logiciel de simulation.
a. Déterminer graphiquement la valeur maximale h_max de la fonction h.
h_max= 0,97.
b. Sur la figure 1 du document réponse 1, tracer la représentation graphique de la fonction e.

c. Le facteur de crête du signal h, exprimé en décibels, est défini par F_c = 10 /ln10 ln(h²_max /P_h).
On a obtenu à l’aide d’un logiciel de calcul numérique la valeur approchée suivante de la puissance
moyenne par période P_h du signal h : P_h = 0,33330.
En déduire une valeur approchée du facteur de crête F_c .
F_c = 10 /ln10 ln(0,97² / 0,3333) =4,51.

2. On note G(w) le gain, exprimé en décibels, du filtre passe-bas en fonction de la pulsation w.
Le graphique ci-après donne une représentation graphique de la fonction G pour les « petites » valeurs de la pulsation w.

1. Déterminer graphiquement l’intervalle des valeurs de w pour lesquelles on a G(w)>= -0,1 dB.
[0 ; 184 ].
On note w₀ la solution de l’équation G(w)= −0,1.
Déterminer, à 10⁻¹ près, en précisant la démarche suivie, une valeur approchée de w₀.

Exercice 2.
On note U la fonction échelon unité définie, sur l’ensemble des nombres réels, par :
U(t) =0 si t <0 ; U(t) = 1 si t >=0.
Une fonction définie sur l’ensemble des nombres réels est dite causale lorsque cette fonction est nulle sur l’intervalle ]−oo; 0[.
On considère un système entée-sortie analogique du premier ordre dont la fonction de transfert H est définie par :
H(p) =2/(1+0,5 p).
1. On considère la fonction causale s dont la transformée de Laplace est :
S(p) =2 / [p(1+0,5p)].
La fonction s modélise la réponse du système analogique à l’échelon unité U.
a. Vérifier que : S(p) =2 / p -2 / (p+2).
S(p) =4 / [p(2+p)] =A / p + B /(p+2) = (p+2)A +Bp / [p(2+p)]
On identifie 2A=4 et 0 = A+B soit A = 2 et B = -2.
b. En déduire s(t ) pour tout nombre réel t positif ou nul.
s(t) =2 U(t)-2e^-2t U(t)= 2(1-e^-2t).
c. Compléter la ligne donnant les valeurs de s(t ) dans le tableau 2 du document réponse 2 en donnant les valeurs approchées à 10⁻³ près.
n 0 10 20 30 40 50 100 150
y(n) 0,039
1,119 1,410
1,735

t=0,02n 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3
s(t) 0 0,659 1,101 1,398 1,596 1,729 1,963 1,995
2. On considère maintenant un système entrée-sortie numérique dont la fonction de transfert F est définie par
F(z)= H[100 (1-z^-1) / (1+z^-1)]
Ce système numérique permet d’approcher le système analogique.
L’entrée et la sortie du système numérique sont modélisés, respectivement, par deux suites causales x et y. Ces deux suites admettent des transformées en Z notées, respectivement, X(z) et Y (z) telles que
Y (z)= F(z)X(z)
a. Montrer que F(z) = 2(1+z^-1) / (51-49 z^-1).

b. En déduire que 51Y (z)−49z⁻¹Y (z)= 2X(z)+2z⁻¹X(z).
Y(z)(51-49z^-1)=2(1+z^-1)X(z).
51Y (z)−49z⁻¹Y (z)= 2X(z)+2z⁻¹X(z).
c. En déduire que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 0, on a :
y(n) =49 /51 y(n-1)+2 / 51 x(n) +2/51x(n-1).
51y(n) -49y(n-1) = 2x(n)+2x(n-1). Puis diviser par 51.

3. On suppose dans cette question que, pour tout nombre entier n, on a x(n) = d(n), où d est la suite impulsion unité définie par
(d(0) = 1 ; d(n) = 0 si n diffère de 0.
Grâce à la formule obtenue dans la question 2c, compléter le tableau du document réponse 2. On pourra utiliser des valeurs approchées à 10⁻³ près.
n -1 0 1 2 3
d(n) =x(n) 0 1 0 0 0
y(n) 0 0,0392 0,0769 0,0739 0,071
y(0) =49 / 51 y(-1) +2 / 51 x(0)+2 / 51 x(-1) =2 /51 =0,0392.
y(1) =49 / 51 y(0) +2 / 51 x(1)+2 / 51 x(0) =49 /51 *0,0392+2 /51 =0,0769.
y(2) =49 / 51 y(1) +2 / 51 x(2)+2 / 51 x(1) =49 /51 *0,0769 =0,0739.
y(3) =49 / 51 y(2) +2 / 51 x(3)+2 / 51 x(2) =49 /51 *0,0739 =0,0739.
4. Dans cette question, on suppose que, pour tout entier n, on a x(n) = e(n) où e est la suite échelon unité définie par
(e(n) = 0 si n < 0 ; e(n) = 1 si n >= 0
On admet que Y(z) =2z(z+1) / [(51z-49)(z-1)].
a. Vérifier que :
b. En déduire y(n) pour tout nombre entier naturel n.
y(n) = 2e(n) -100 / 51 (49 /51)ⁿ.
c. Compléter la ligne donnant les valeurs de y(n) dans le tableau du document réponse 2 avec des valeurs approchées à 10⁻³ près.
n 0 10 20 30 40 50 100 150
y(n) 0,039 0,686 1,119 1,410 1,604 1,735 1,964 1,995
y(10) = 2*1 -100 /51 (49/51)¹⁰ =0,686.
y(40) = 2*1 -100 /51 (49/51)⁴⁰ =1,604.
y(100) = 2*1 -100 /51 (49/51)¹⁰⁰ =1,964.
y(150) = 2*1 -100 /51 (49/51)¹⁵⁰ =1,995.

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