Les tirs au but.
Bac S Antilles 2015
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Lors
d’un match de football, un joueur doit tirer un penalty et décide de
tenter une « Panenka ». Le joueur dépose le ballon au point de penalty
O, pris comme origine du repère. Le joueur frappe le ballon en
direction du centre du but et lui communique une vitesse initiale v0 de valeur 11,5 m/s
et dont la direction fait un angle a = 55° avec l’horizontale.
Données : intensité de la pesanteur : g = 9,81 N.kg-1; masse du ballon : m = 620 g ;· termes utilisés dans la pratique du football :
Les buts sont constitués de deux montants verticaux (poteaux) reliés en leur sommet par une
barre transversale. Le bord inférieur de la barre transversale se situe à une hauteur de 2,44 m par
rapport au sol.
Le penalty est une action consistant à frapper directement au but depuis un point nommé « point
de penalty » ou « point de réparation ». Un penalty est réussi si le ballon franchit la ligne de buts
en passant entre les montants et sous la barre transversale.
À l’intérieur de chaque surface de réparation, le point de penalty est marqué à 11,0 m du milieu de
la ligne de but et à égale distance des montants verticaux du but.
Schématisation du problème.
Tracer un repère orthonormé (Ox ; Oz) et représenter, dans ce repère,
la situation du penalty, sans souci d’échelle. Les grandeurs suivantes
devront apparaitre : le vecteur vitesse initiale v0, l’angle α, la hauteur h des buts et la distance d du point de pénalty à la ligne de but.
On note A le point où se situe le ballon lorsqu’il franchit la ligne de but. Quelles conditions
doivent vérifier les coordonnées (xA ; zA) de ce point pour que le pénalty soit réussi ?
xA = d = 11,0 m ; 0 < zA < h ; 0< zA < 2,44 m.
Étude dynamique du mouvement du ballon.
Dans cette partie, on étudie le mouvement du centre d’inertie G du ballon en négligeant les forces
de frottement de l’air sur le ballon ainsi que la poussée d’Archimède.
Établir l’expression du vecteur accélération a du centre d’inertie
du ballon. Établir les équations horaires x(t) et z(t) du mouvement du
centre d’inertie G et montrer que l’équation de la trajectoire du
ballon, dans le plan (xOz), peut s’écrire :
z =-½gx2 /( v0 cosa)2 + x tan a.
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En exploitant les données et les documents, déterminer si le penalty décrit en début d’exercice
est réussi. Expliciter votre raisonnement.
Valeur de z pour x = 11,0 m :
z = -4,9 *11,02 /(11,5 *cos 55)2 +11,0 tan 55 = -13,64+15,71 ~2,1 m
Cette valeur étant inférieure à 2,44 m, le pénalty est réussi.
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Étude énergétique du mouvement du ballon.
On admet que le ballon passe au niveau de la ligne de but à une hauteur zA = hA.
Rappeler les expressions de l’énergie cinétique Ec, de l’énergie potentielle de pesanteur Epp et de l’énergie mécanique Em. On choisira un axe vertical ascendant et une énergie potentielle de pesanteur nulle à l’origine.
Ec = ½mv2 ; Epp = mgz ; Em = ½mv2 +mgz.
En explicitant votre
raisonnement, associer à chaque courbe la forme d’énergie
correspondante. Déterminer les valeurs de la hauteur hA et de la vitesse vA lorsque le
ballon franchit la ligne de but.
Courbe 1 : l'énergie mécanique se conserve en absence de frottement.
Courbe 2 : l'énergie cinétique initiale est maximale puis décroît jusqu'au sommet de la parabole.
Courbe 3 : l'énergie potentielle initiale est nulle puis croît jusqu'au sommet de la parabole.
Energie potentielle au point A : mghA = 12,5 ; hA =12,5 / (0,620 *9,81) =2,055 ~2,1 m.
Energie cinétique au point A : 28 = ½mv2A ; vA = (28*2 / 0,620)½ =9,5 m/s.
Que peut-on dire de l’énergie mécanique du ballon
lors de son mouvement ? Utiliser cette caractéristique du mouvement
pour retrouver la valeur vA de la vitesse du ballon lorsqu’il franchit la ligne de but. Conclure.
Lors d'une chute libre (absence de frottement ), l'énergie mécanique du ballon se conserve.
Energie mécanique initiale = énergie mécanique en A = 41 J.
½mv20 = ½mv2A +mghA ; v2A = v20 +2ghA ;
v2A =11,52 - 2*9,81 *2,055 =91,93 ; vA = 9,5 m/s.
On retrouve la valeur précédente : l'énergie mécanique du ballon est bien conservée.
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