Plancher chauffant, étude thermique de l'enveloppe d'un bâtiment

Plancher chauffant, étude thermique de l'enveloppe d'un bâtiment.

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Plancher chauffant.
La figure ci-dessous représente la coupe transversale d’un plancher dans lequel on a incorporé un système de chauffage. Ce système est constitué d’un tube dans lequel circule de l’eau à la température moyenne supposée constante T_c= 40°c. On assimile le système de chauffage à un plan horizontal à la température uniforme de T_c = 40°C.
On note T_s = 24°C et T_f= 7°C respectivement la température du local et la température du sol de fondation.

Matériaux
Indice
Conductivité thermique l ( W m^-1 K^-1)
Epaisseur (cm)

Revêtement
1
2,50
1

Mortier
2
1,15
5

Isolant
3
0,02
2

Béton
4
1,40
10

Représenter sur le schéma ci-dessus le sens des flux thermiques circulant dans le plancher chauffant.
Indiquer le mode de transfert de chaleur.
Le transfert s'effectue par conduction, du corps le plus chaud vers le corps ( le système de chauffage ) le plus froid ( vers la pièce et vers le sol).
Calculer les résistances équivalentes de part et d’autre du système de chauffage.
R_haut = e₁/l₁ + e₂/l₂ = 0,01/2,50 + 0,05 / 1,15 = 4,75 10^-2 K W^-1 m².
R_bas = e₃/l₃ + e₄/l₄ = 0,02/0,02 + 0,10 / 1,40 = 1,07 K W^-1 m².
Calculer les flux de chaleur surfaciques circulant de part et d’autre du système de chauffage.
F_haut =1/ R_haut (T_c-T_s) =(40-24) / (4,75 10^-2) =3,37 10² W m^-2.
F_bas =1/ R_bas (T_c-T_f) =(40-7) / 1,07 =30,8 W m^-2.
En déduire la puissance totale délivrée par le système de chauffage par m² de plancher chauffant.
F_total = 3,37 10² + 30,8 = 3,68 10² W m^-2.
Calculer les températures T₁ et T₂.
F_haut =(T_c-T₁) l₂ /e₂ ; T_c-T₁= F_haut e₂ / l₂ ; T₁= T_c -F_haut e₂ /l₂ .
T₁=40-3,37 10² *0,05/1,15 = 25,3 °C.
F_bas =(T_c-T₂) l₃ /e₃ ; T_c-T₂= F_bas e₃ / l₃ ; T₂= T_c -F_bas e₃ /l₃ .
T₂=40-30,8 *0,02/0,02 = 9,2 °C.
Calculer le pourcentage de puissance perdue par le sol de fondation.
F_bas / F_total =30,8 /368=0,084 ( 8,4 %).
Déterminer l’énergie en joules puis en KWh apportée par m² de plancher par le système de chauffage durant toute une journée.
F_total fois durée (seconde) = 368*24*3600 =3,18 10⁷ J m^-2 ou 3,18 10⁷ /(3,6 10⁶) =8,8 kWh m^-2.

Le nouveau refuge du Goûter, est le plus haut refuge gardé de France (3 835 m). D’architecture novatrice il est conçu pour résister à un environnement difficile, et préfigure une nouvelle génération de bâtiments.
On se propose d’étudier quelques aspects techniques d’un refuge de haute altitude du même type que celui du Goûter.
Etude thermique de l'enveloppe du bâtiment.
Les contraintes d’accès et de production d’énergie sont telles qu’il est très important de minimiser les pertes d’énergie d’un tel bâtiment. On étudie dans cette partie les déperditions par transfert thermique. Le refuge est modélisé par un parallélépipède rectangle de longueur L = 15 m, de largeur l = 8 m et de hauteur h = 10 m, posé à flanc de montagne. On suppose dans cette partie que la température intérieure du refuge notée q_i= 20°C, et la température extérieure q_e=-10°C sont constantes tout au long de la journée et de l’année.
On modélise les échanges radio-convectifs à l’intérieur et à l’extérieur du refuge par les résistances thermiques superficielles interne et externe dont les valeurs sont R_si= 0,11 (unité SI), R_se = 0,06 (unité SI).
On note : J_lat : le flux thermique surfacique perdu par les parois latérales, J_toit le flux thermique surfacique perdu par le toit, J_sol le flux thermique surfacique perdu par le sol.
Rappeler la relation établissant le lien entre le flux surfacique à travers une paroi, les températures intérieure et extérieure de la paroi et la résistance thermique R de cette paroi. Préciser l’unité de chacune des grandeurs.
J =(q_i-q_e) / R avec J : W m^-2 ; températures en °C ; R : m².K.W^-1.
Le refuge est construit en bois d’épicéa.
Donner des raisons qui peuvent avoir contraint le concepteur au choix de ce matériau.
L'épicéa est disponible dans la région ; sa conductivité thermique est assez faible ( 0,13 W K^-1 m^-1) ; sa densité est bien inférieure à celle de l'acier ou du béton.

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Les murs latéraux sont constitués de différents matériaux assemblés comme le montre la figure ci-dessous :

On donne les conductivité thermique (W·m^-1·K^-1) : l_acier = 26 ; l_épicéa =0,13 ; l _{fibre bois} =0,038.
Donner l’expression littérale de la résistance thermique R_lat des murs latéraux et calculer sa valeur numérique.
R_lat = R_si+ R_se +e/ l_acier+(e₁+e₃) / l_épicéa +e₂ / l _{fibre bois} ;
R_lat = 0,11 + 0,06 + 0,005 / 26 + 0,13 / 0,13 + 0,25 / 0,038 =0,17 +1,92 10^-4 + 1 +6,579 =7,75 m².K.W^-1.
Déterminer le flux surfacique. En déduire la puissance perdue P_lat par les parois latérales.
J_lat =(20-(-10)) / 7,75 = 3,87 W m^-2.
Surface latérale : 2(L+l) h = 2(15+8)*10 = 460 m² ; P_lat=3,87*460 = 1,78 10³ W = 1,78 kW.
Les résistances thermiques totales des surfaces correspondant au sol et autoit sont R_sol = R_toit = 10 unités S.I. Calculer les puissances perdues par le sol et le toit, respectivement nommées P_sol et P_toit.
J_sol =J_toit=(20-(-10)) / 10 = 3,0 W m^-2.
Surfacedu sol = surface du toit = L l = 15*8 = 120 m² ; P_sol=P_toit=3,0*120 = 3,6 10² W = 0,36 kW.
Montrer que la puissance thermique totale perdue vaut P_tot = 2,5 kW.
P_tot =P_lat+ P_sol + P_toit= 1,78 +0,36+0,36 =2,5 kW.
On définit le coefficient de déperditions thermiques moyen du bâtiment U_bât par la relation :
P_tot = U_bât × S_tot × Dq où S_tot représente la surface totale de l’enveloppe du bâtiment.
Calculer la valeur du coefficient U_bât, et conclure quant aux performances thermiques du refuge.
U_bât =P_tot / (S_tot × Dq) =2500 / ((460+120+120)*30)~0,12.
Cette valeur étant inférieure à 0,3, le bâtiment est très bien isolé.

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