Statistiques. Concours interne ingénieur agriculture

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Exercice 1.
L'homogénéité des rendements fourragers de deux type de prairie a été étudié. Chaque type de prairie a été divisée en plusieurs parcelles :

Prairie 1
 Prairie 2

Rendement
 (x-moyenne)2
 Rendement
 (x-moyenne)2
Parcelle 1
 19,8
 30,91
 15,9
 26,83
Parcelle 2
 20,6
 22,66
 19,8
 1,64
Parcelle 3
 27
 2,69
 20,9
 0,032
Parcelle 4
 29,5
 17,14
 22,5
 2,02
Parcelle 5
 29,9
 20,61
 26,3
 27,24

Moyenne : 25,36
 Variance : 18,8
écart-type : 4,34
 21,08
 Variance : 11,55
écart-type : 3,40
On suppose que la variable aléatoire X  donnant les rendements suit une loi normale.
Peut-on dire au seuil de 5 % que les deux populations ont la même variance ?
X suit la loi normale N(p, s).
X0=(X-p) / s suit la loi normale centrée réduite.
p(-t < X0 < t) =0,95 ; 2X(t)-1 =0,95 ; X(t) =1,95/2 = 0,975.
Les tables donnent t = 1,96.

L'intervalle de confiance est donc :
Prairie 1 : [25,36-1,96 s1 ; 25,36+1,96 s1 ] soit [25,36-1,96 *4,34 ; 25,36+1,96*4,34 ] soit [ 16,9 ; 33,9 ].
Prairie 2 : [21,08-1,96*3,4 ; 21,08+1,96*3,4] soit [ 14,4 ; 27,7 ]
  Si oui, peut-on conclure, en comparant les moyennes que les rendements sont homogènes dans les deux prairies ?
Plus l'écart type est important, plus les valeurs sont dispersées par rapport à la moyenne.
Les rendements sont moins homogènes dans la prairie 1.
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Exercice 2.
Une enquète effectuée auprès du comptoir de 150 coopératives a permis d'étudier l'arrivée dans le temps des usagers de ces coopératives. Pendant l'unité de temps, soit une heure, on a noté :
Nombres d'usagers arrivés (x)
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
Nombres de coopératives (n)
 37
 46
 39
 19
 5
 3
 1
n(x-moyenne)2010,610,5543,931,7537,1720,43
Peut-on admettre au risque de 5 % que la population suit une loi de Poisson ?
Moyenne : (46 +2*39+3*19+4*5+5*3+6) / 150 =1,48.
Variance : (10,6+10,55+43,9+31,75+37,17+20,43) / 150 =1,03.
La moyenne est différente de la variance, la population ne suit pas une loi de Poisson.

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Exercice 3.
Un organisme vétérinaire a fait des analyses chez un apiculteur, cela a permis de compter le nombre d'insecte porteurs de maladies dans 25 ruches. On obtient les résultats suivants :
Nombres d'insectes ( x)2468101214
Nombres de ruches (n)1abc532
n(x-moyenne)241,9920,07 a6,15 b0,23 c11,5537,1760,94
L'effectif total de la série est 25 ; la moyenne est 8,48 ; la variance est 8,7296.
Déterminer les nombres a, b, c.
25 =1+a+b+c+5+3+2 ; a+b+c =14 (1).
Moyenne : 8,48=(2+4a+6b+8c+50+36+28) /25 =4,64 +0,16 a +0,24 b +0,32 c.
0,16 a +0,24 b +0,32 c =3,84 ;  a + 1,5 b + 2c = 24 (2).
(2)-(1) donne : 0,5 b + c = 10. (3).
b et c étant entiers, b est pair : b = 2 ou 4 ou 6 ou 8 ou 10 tandis que c vaut 9 ou 8  ou 7 ou 5.
Variance : 8,7296 =(41,99 +11,55 +37,17 +60,95 +20,07a +6,15 b +0,23 c) / 25.
8,7296 =6,066 +0,803 a +0,246 b +0,0092 c ; 0,803 a +0,246 b +0,0092 c =2,6636.
a + 0,306 b +0,01146 c =3,317 (4).
(1)-(4) donne : 0,694 b +0,9885 c = 10,68 (5).
(3) donne : c = 10-0,5 b, repport dans (5) : 0,6943 b +9,885 -0,4942 b =10,68 ; 0,2 b = 0,795 ; b ~ 4.
Par suite c = 8 et a =2.
Exercice 4.
Dans une fromagerie on a relevé la taille de 17 fromages et obtenu les résultats suivants ( en g) :
336 ; 245 ; 324 ; 365 ; 293 ; 324 ; 353 ; 246 ; 299 ; 334 ; 260 ; 368 ; 292 ; 281 ; 244 ; 286 ; 309.
Déterminer la moyenne et l'écart type de cet échantillon.
Moyenne =(336 +245 + 324 + 365 + 293 + 324 + 353 + 246 + 299 + 334 + 260 + 368 + 292 + 281 + 244 + 286 + 309)/17=303,5.
Variance :  :((336-303,5)2+(245-303,5)2+(324-303,5)2+(365-303,5)2+(293-303,5)2+(324-303,5)2+(353-303,5)2+(246-303,5)2+(299-303,5)2+(334-303,5)2+(260-303,5)2+(368-303,5)2+(292-303,5)2+(281-303,5)2+(244-303,5)2+(286-303,5)2+(309-303,5)2) /17 =(1026+3422+420+3782+110+420+2450+3306+20+930+1892+4160+132+506+3540+306+30)/17=1556.
Ecart-type : racine carrée de la variance = 1556½=39,4.
Sachant que le poids de la population est 322 g, déterminer si l'échantillon est représentatif de la population.
Intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % : [303,5-1,96*39,4 : 303,5+1,96*39,4] ; [226 ; 381 ].
Le poids appartient à cet intervalle, l'échantillon est représentatif de la population.



Exercice 5.
On veut savoir si la possession d'un diplôme A est un facteur significatif de réussite à un examen. On prélève un échantillon de 100 candidats possèdant le diplôme A et un autre échantillon de même effectif ne le possédant pas. Les pourcentages de réussite à l'examen sont respectivement de 50% et 40 %.
Peut-on conclure à un écart significatif au risque de 5 % ?
Soit X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 candidats, associe la fréquence de réussite à l'examen.
Loi normale : E(X) =np ; s(X) =(npq)½ avec n =100 ;
Candidats possédant le diplôme A : p =0,5 et 1-p=q =0,5. E(X) =50 et s(X) =(100*0,5*0,5)½=5.
p-1,96 (p(1-p)/n)½ =0,5-1,96(0,5*0,5/100)½ =0,5-0,05=0,45
p+1,96 (p(1-p)/n)½ =0,5+1,96(0,5*0,5/100)½ =0,5+0,05=0,55
Intervalle de confiance [0,45 ; 0,55]
Candidats ne possédant pas le diplôme A : p =0,5 et 1-p=q =0,5. E(X) =50 et s(X) =(100*0,4*0,6)½=4,9.
p-1,96 (p(1-p)/n)½ =0,4-1,96(0,4*0,6/100)½ =0,4-0,049~0,351
p+1,96 (p(1-p)/n)½ =0,4+1,96(0,4*0,6/100)½ =0,4+0,049=0,449
Intervalle de confiance [0,351 ; 0,449].
Les deux intervalles de confiance ne se recouvrent pas. L'écart est significatif.
A partir de quel effectif d'échantillon aurait-il été jugé significatif ?
La borne inférieure d'un intervalle doit être égale à la borne supérieure de l'autre.
0,4 +(0,4*0,6 / n)½ =0,5-(0,5*0,5/ n)½ ; 0,1 =(0,24 / n)½+(0,25 / n)½.
0,1 =(0,4899+0,5) / n½ ;  n½=9,899 ; n =98.
Exercice 6.
A la suite du même traitement, on a observé 40 bons résultats chez 70 pieds de vigne jeunes et 50 bons résultats chez 100 pieds de vigne agés.
Peut-on dire au risque de 5% qu'il existe une liaison entre l'âge du pied de vigne et l'effet du traitement.
Soit X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de n pieds de vigne, associe la fréquence de réussite au traitement.
Loi normale : E(X) =np ; s(X) =(npq)½ avec n =100 ;
Jeunes plans : p =4 / 7 et 1-p=q =3/7. E(X) =40 et s(X) =(70*4/7*3/7)½=4,14.
p-1,96 (p(1-p)/n)½ =4/7-1,96(4/7*3/7 /70)½ =4/7-0,0591=0,512
p+1,96 (p(1-p)/n)½ =0,5+0,0591 =0,559.
Intervalle de confiance [0,512 ; 0,559]
Plans agés : p =0,5 et 1-p=q =0,5. E(X) =50 et s(X) =(100*0,5*0,5)½=5.
p-1,96 (p(1-p)/n)½ =0,5-1,96(0,5*0,5/100)½ =0,5-0,05~0,45.
p+1,96 (p(1-p)/n)½ =0,5+0,05=0,55.
Intervalle de confiance [0,45 ; 0,55].
Les deux intervalles de confiance ont une partie commune. Il n'y a pas de liaison entre l'âge et l'efficacité du traitement.


  

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