La
plongée avec bouteille,
concours général 2013.
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Les
bouteilles de plongée sont en général fabriquées en acier permettant de
toléerer des pressions importantes. Elles constituent ainsi une réserve
d’air (ou de gaz) àa haute pression. Lorsqu’il est immergé, le plongeur
peut alors inspirer les quantités d’air qui lui sont nécessaires à
pression ambiante via le détendeur. La pression ambiante correspond à
la pression à laquelle se trouve le plongeur et dépend donc de la
profondeur.
On
considère une bouteille de volume VB = 15 L
remplie d’air à la pression PH0 = 200 bar. On
suppose qu’un plongeur inspire le volume Vp = 1
L toutes les 6 secondes.
Quel
est le volume d’air disponible pour ce plongeur en surface, puis aux
profondeurs z1 = 20 m, z2 = 40 m,
et z3 = 80 m.
Combien de temps le plongeur peut-il respirer à ces différentes
profondeurs ?
P(z) =P0 +regz
; P1 =1,0 105
+1000*9,81*20 =2,96 105 Pa ;
P2
=1,0 105 +1000*9,81*40 =4,92 105
Pa ; P3
=1,0 105 +1000*9,81*80 =8,85 105
Pa.
Quantité de matière d'air ( à 15°C) : n = VBPH0/(R
T) = 15 10-3*200 105
/(8,31*288) =125,3 mol
Volume d'air disponible en surface : V =nRT/ P0
=125,3 *8,31*288 / (1,0 105)~ 3,0 m3
( 3000 L).
La durée de la respiration est t =3000 * 6 = 18000 s = 5
heures.
A 20 m : V =nRT/ P1
=125,3 *8,31*288 / (2,96 105)~ 1,013 m3
( 1010 L) ; t = 1010 * 6 = 6,08 103 s =1 h 41
min.
A 40 m : V =nRT/ P2
=125,3 *8,31*288 / (4,92 105)~ 0,6095 m3
(609,5 L) ; t = 609,5*6 =3,66 103 s =1
h 1 min.
A 80 m : V =nRT/ P3
=125,3 *8,31*288 / (8,85 105)~ 0,3388 m3
(338,8 L) ; t = 338,8*6 =2,033 103 s ~34 min.
Le détendeur assure
l’interface entre le plongeur et l’air à haute pression contenu dans la
bouteille. Le détendeur remplit deux fonctions : fournir au
plongeur la quantité d’air correspondant à ses besoins ( Quand le
plongeur expire, l’arrivéee d’air est coupée) et fournir cet air à
pression ambiante, c’est à-dire à la pression àa laquelle est soumis le
plongeur.
Les détendeurs sont aujourd’hui constitués de deux étages. Le premier
étage permet de ramener l’air de la bouteille (pression PH)
à une moyenne pression ou pression intermédiaire (PM).
Ce premier étage est la partie du détendeur fixée à la robinetterie. Le
deuxièeme étage permet de diminuer à nouveau la pression, de la
pression intermédiaire PM jusqu’à la pression
ambiante PA. Le deuxième étage du détendeur
correspond à l’embout buccal.
Le principe de chacun de ces deux étages est le même. Les détendeurs
sont en général constitués de clapets à ressort. Nous allons étudier
leur fonctionnement.
Ce détendeur représenté ci-dessous est composé d’une chambre humide
remplie d’eau. Dans cette chambre, règne la pression ambiante PA.
Cette chambre est séparée du compartiment à la pression intermédiaire
par un piston mobile de section S. Nous allons, dans la suite, négliger
le poids de ce piston mobile et supposer qu’il isole parfaitement l’air
contenu dans le compartiment moyenne pression de la chambre humide. Au-
dessus, nous avons le compartiment haute pression.
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Suivant
la position du piston, l’air peut circuler ou non du compartiment haute
pression vers le compartiment pression intermédiaire. La figure 7
représente le détendeur à l’équilibre : le piston est en position haute
et l’air ne circule pas. Sur la figure 8, le détendeur est représenté
en position ouverte. L’air à haute pression passe alors du compartiment
haute pression au compartiment à la pression intermédiaire.
Lorsque
cet étage est placé à l’air libre et que toutes les pressions (P A,
P H et P M) sont égales à
la pression atmosphérique P 0, le clapet reste
ouvert. La chambre humide est à symétrie cylindrique et est
caractérisée par sa couronne d’épaisseur R, et sa hauteur d.
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Repésenter
la surface du piston sur laquelle s’exerce la force de pression de la
chambre humide dans laquelle règne la pression PA. Exprimer
cette surface notée FA
en fonction de D et R. En déduire la force de pression FA exercée
sur le piston.
Représenter
la surface du piston sur laquelle s’exerce la force de pression de la
chambre intermédiaire à la pression PM. Exprimer
cette surface notée FM
en fonction de D et e. En déduire la force de pression FM exercée
sur le piston.
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Force
de pression exercée sur le piston dans le compartiment haute pression
:
Dans le compartiment haute pression, les forces de pression qui
s’exercent sur le piston s’appliquent suivant les différentes surfaces
du piston en trait noir sur la figure. On suppose, pour étudier la
résultante de ces forces, que le piston est plongé dans une zone où
règne une pression uniforme notée PH.
On s’intéresse d’abord aux forces de pression qui s’appliquent sur les
portions verticales du piston. Exprimer
la résultante de ces forces.
On s’intéresse maintenant aux forces de pression appliquées sur les
surfaces obliques. Exprimer
la somme des vecteurs unitaires en fonction de ez et de
l’angle α.
La résultante des forces de pression élémentaires exercées sur des
éléments de surface diamétralement opposés est dirigée vers le bas
suivant le vecteur -ez .
Etablir
la relation entre l’angle a et les
longueurs l
et d. En
déduire que la résultante de ces forces, notée Fo, est
verticale et équivalente à la force de pression qui serait exercée par
la pression PH sur la
couronne représentée sur la figure.
sin a = d / l. 
S sin a
correspond à la projection de la surface S sur la couronne horizontale
représentée : FC=S
sin a
=p((d+e)2-(e2)
= pd(d+2e).
Or ½D = R+d+e
; d
=½D-R-e ; FC=p(½D-R-e)(½D-R+e)= p((½D+R)2-e2).
F0
=PH p((½D+R)2-e2).
Etablir la
relation entre les surfaces FM,
FA
et FC.
FM
=p((½D)2-e2)
; FA
=pR(D-R) ;
FM
+FA
=p((½D)2-e2+R(D-R)=
p((½D+R)2-e2)
= FC.
Le piston est à
l’air libre, et le clapet est ouvert. Toutes les pressions sont égales
à la pression atmosphérique P0.
Exprimer
la résultante de toutes les forces qui s’exercent sur le piston.
Somme des forces pressantes et de la force de rappel exercée par le
ressort.
Enoncer
la condition d’équilibre. En déduire l’expression de la longueur d en
fonction de ℓ0, la longueur `a vide
du ressort.
A l'équilibre la somme vectorielle des forces est nulle et les
pressions étant toute égales à P0 , le premier
terme est nul ; par suite d=l0.
On monte
maintenant le détendeur sur une bouteille remplie d’air à la pression PH.
Représenter
le trajet de l’air. Comment évolue la pression PM dans le
compartiment moyenne pression ?
La pression PM croît jusqu'à atteindre
l'équilibre entre les pressions. Alors le clapet se referme sous
l'action du ressort.
Quelles
sont les forces appliquées au piston mobile ? On négligera
toujours son poids.
Aux forces pressantes, il faut ajouter la force de rappel exercée par
le ressort.
Lorsque le clapet est fermé, le joint souple interdit une circulation
d’air du compartiment haute pression à l’étage intermédiaire. Le piston
est alors soumis à une force supplémentaire notée R
représentant l’action du joint sur le piston et dirigée vers le bas.
Lorsque le clapet est fermé, cette force est non nulle. Montrer
que lorsque le clapet est fermé, la pression intermédiaire vérifie la
relation suivante : PM ≥kDl/FA+P0 où
ℓ représente la distance parcourue par le piston entre sa position à
l’équilibre et sa position une fois le clapet fermé.
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On
immerge maintenant le détendeur. La chambre humide se remplit d’eau. On
maintient la sortie du compartiment moyenne pression fermée, et on
atteint ainsi la profondeur z1 = 20 m.
Expliquer
le comportement du détendeur durant la descente. Calculer la pression
intermédiaire PA à la
profondeur z1. Comment
évolue la pression PM avec la
pression ambiante et donc avec la profondeur ? Quelles
sont les conséquences pour le plongeur ?
Lors de la descente, la pression augmente de 1 bar à 3 bar. La pression
augmente (et en conséquence la force pressante exercée sur le piston)
,dans la chambre humide. L'équilibre du piston est rompu, le clapet
s'ouvre.
PM-PA reste constante, le
plongeur respire touours de l'air à la pression ambiante.
Le plongeur est toujours situé à la profondeur z1.
Expliquer
le fonctionnement du détendeur lorsque le plongeur respire. Le
fonctionnement de ce détendeur dépend-il de la haute pression dans la
bouteille ? Le
plongeur
doit-il toujours exercer le même effort pour inspirer ? Conclure sur
les avantages ou inconvéenients d’un tel
d´etendeur.
Lors de l'inspiration, la pression PM diminue et
le clapet s'ouvre. PM augmente jusqu'à la
fermeture du clapet. Le fonctionnement de ce détedeur est indépendant
de la pression dans la bouteille et le plongeur doit toujours exercer
le même effort pour respirer. Par contre ce dernier n'est pas averti
lorsque la pression devient trop faible dans la bouteille.
Ce d´etendeur à chambre humide présente un
inconvénient : lors de la détente d’un gaz, celui-ci se refroidit et
peut atteindre des températures de l’ordre de −80 °C `a −100 °C. L’eau
contenue dans la chambre humide
peut se refroidir jusqu’à geler, pouvant bloquer le piston en position
ouverte ou fermée. Nous allons étudier dans cette partie si,
compte-tenu de la capacité thermique de l’eau, le risque de givrage
doit être pris en
compte.
On ne considére que les échanges thermiques entre la masse Me
d’eau contenue dans la chambre humide et le milieu extérieur. Ces
échanges correspondent :
- à la chaleur perdue lors de la détente : la puissance cédée par l’eau
au gaz s’écrit P = K (T − T0)
où T est la température de l’eau contenue dans la chambre humide, et T0
celle de l’air circulant de la bouteille haute pression vers l’étage
moyenne pression PM. En régime stationnaire,
cette tempéerature sera considérée comme constante et égale é sa valeur
moyenne : T0 = 173 K.
- à la chaleur reçue lors des échanges avec l’eau extérieure
à la chambre humide. En effet au cours de chaque cycle, une masse d’eau
me sort de la chambre humide (compression du
ressort) et une autre masse d’eau me à la
température TA entre dans la chambre humide. La
puissance reçue par l’eau de la chambre humide s’écrit PA
= KA (TA − T).
TA correspond à la température du milieu
extérieur (température de l’eau de mer). On donne K/KA
= 0, 071.
Pour évaluer la température de l’eau contenue dans la chambre humide,
nous allons nous placer en régime stationnaire et faire un bilan de
puissance.
Ecrire
le bilan de puissance c’est à dire la relation entre P et
PA. Exprimer
la température T dans la chambre humide.
P+PA =0 ; K
(T − T0) + KA
(TA − T) =0 ; K/KA (T
− T0)=T-TA
; T(1-K/KA
)=K/KA
T0-TA ;
T =(K/KA
T0-TA) /
(1-K/KA
).
A partir
de quelle température ambiante l’eau dans la chambre humide
risque-t-elle de geler ? Ce probl`eme est-il fréquemment rencontré en
plongée ? De quels autres facteurs dépend ce problème de givrage ? Proposer
des solutions pour palier ce problème.
T =(0,071
*173-TA) /
(1-0,071)=(12,28-TA)
/0,929 =11,4-1,076 TA.
L'eau commence à geler à T=0°C : TA =11,4 /
1,076 =10,6°C.
Le
givrage dépend également de la profondeur et de la pression
régnant dans la bouteille.
Ce
problème peut être rencontré en plongée : on peut mettre un autre
fluide dans la chambre humide ou utiliser un détendeur à chambre sèche.
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