Equilibre, projectile, dipôle RLC série, roue de Barlow. Concours ENSM 2014 filière professionnelle machine.

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Question 1.
Deux masses m1 = 5 kg et m2 disposées sur un double plan incliné parfaitement lisse sont reliées entre elles par un fil inextensible de masse négligeable qui passe sans frottement sur une poulie O. Les plans inclinés sur lesquels reposent m1 et m2 forment respectivement un angle a1 =p/6 rad et a2 =p/3 rad avec l’horizontale. L’ensemble est à l’équilibre statique. On considère que l’intensité de la pesanteur vaut 10 m.s-2.
Reproduire la figure en faisant apparaître les différentes forces qui s’appliquent sur chaque masse. Définir ces différentes forces et donner leurs caractéristiques. Calculer la valeur de m2.
Chaque solide est soumis à son poids, vertical, vers le bas, valeur mg, à l'action du plan, perpendiculaire au plan et à la tension du fil, parallèle au fil, dirigée ves la poulie.
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Projectile.
Un projectile de masse 5 kg est lancé par un canon dont le tube a une longueur L= 1,5 m. La durée du trajet dans le canon est de 0,04 s. On considère que l’accélération de la pesanteur vaut 10 m.s-2. En supposant constante la poussée des gaz de la poudre, le mouvement du projectile dans le tube est uniformément accéléré :
Calculer l’accélération de ce mouvement et la vitesse du projectile à sa sortie.
L = ½at2; la vitesse et la position étant nulles.
a = 2L/t2 = 3,0 / 0,042 =1,875 103 ~1,9 103 ms-2.
v0= at = 1,875 103 *0,04 =75 m/s.
Calculer la force propulsive des gaz résultant de la combustion de la poudre.
Le poids du projectile est négligeable devant la poussée ; poussée = m a = 5*1,875 103 ~9,375 103 ~9,4 103 N.
On néglige la résistance de l’air. L’axe du tube faisant un angle a =p/4 rad avec l’horizontale et l’extrémité ouverte du tube du canon étant l’origine d’un repère orthonormé dont l’axe des abscisses est l’horizontale et l’axe des ordonnée est la verticale.
Exprimer les équations horaires de la trajectoire du projectile projetée sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées que l’on note respectivement : x = f(t) et y = f(t) et l’équation de la trajectoire du projectile liant y à x telle que : y = f(x).

Calculer l’abscisse du point d’impact A du projectile et la durée de sa trajectoire.
yA=0 ; -10xA2 / (2*752*cos245)+xAtan45 =0 ; -1,778 10-3xA+1=0 ; xA=562 ~5,6 102 m.
t = xA/(v0 cos a) =562/(75 *cos45)= 10,6 ~11 s.

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Dipôle RLC série.
Un condensateur de 20 µF et une bobine d’inductance variable sont connectés en série. La résistance de la bobine est de 100 ohms et son inductance est réglée à 0,1 H. L’ensemble est relié
à un générateur dont la valeur efficace de la tension est U = 220 V à la fréquence de 50 Hz.
Calculer le courant fourni par le générateur et son déphasage par rapport à la tension.

Impédance Z =[ (r2 +(Lw-1/(Cw))2]½ avec w = 2 p f = 2*3,14*50 = 314 rad/s.
Z= [(1002 +(0,1*314-1/(20 10-6*314))2]½=162,3 ohms ; I = U /Z = 220/162,3 =1,3557 ~1,4 A.
tan j = (Lw-1/(Cw)) / R = (31,4-159,2) / 100 =-1,278 ; j = -0,907 ~-0,91 rad.
 Calculer les valeurs efficaces des tensions UL aux bornes de la bobine et UC aux bornes du condensateur.
UC =I/(Cw)) = 1,3557 /(20 10-6*314))=215,9 ~216 V.
UL = (r2+(Lw)2)½I =(1002+(0,1*314)2)½*1,3557 =142 V.
 On modifie ensuite l’inductance de la bobine de façon à rendre maximum le courant fourni par le générateur.
 Calculer la valeur de réglage de l’inductance.

Lw = 1/(Cw) ; L = 1/(Cw2)=1/(20 10-6*3142)=0,507 ~0,51 H.
Calculer le courant fourni par le générateur et son déphasage par rapport à la tension.
Intensité et courant sont en phase ; I = U/r = 220/100 = 2,2 A.
Calculer le nombre de condensateurs de capacité 5 µF à associer en série ou en parallèle, pour que la capacité résultante soit de 20 µF.
Associer 4 condensateurs de 5 µF en parallèle.



Roue de barlow.
Une roue de Barlow, de rayon a = 0,30 m, est placée dans un champ magnétique uniforme d’induction B = 0,6 T, perpendiculaire au plan de la roue, dont le sens est indiqué sur la figure ci-dessous. La roue de Barlow est placée en série avec un générateur de tension dont la force électromotrice vaut E = 9 V et la résistance interne r = 4 ohms. La liaison de la roue de Barlow avec le circuit est uniquement électrique par contact glissant et la résistance du circuit électrique vaut R = 2 ohms.
Dans le cas où l’on empêche la roue de tourner, déterminer les caractéristiques de la force électromagnétique dite de Laplace. Montrer sur un schéma le sens de rotation de la roue.

 

F = I a B ; I = E/(r+R) = 9/(4+2) =1,5 A ; F = 1,5*0,30*0,6 =0,27 N.
Dans le cas où la roue tourne à la fréquence de rotation constante de 12 tours.s-1, calculer :
 la valeur de la force contre-électromotrice induite ;
e = B a v avec v =wa = 12*6,28 *0,3 = 22,6 m/s ; e = 0,6*0,3*22,6 =4,07 ~4,1 V.
l’intensité du courant parcourant le circuit ;
I=(E-e)/(R+r) = (9-4,07)/6 =0,8217~0,82 A.
 la valeur de la force électromagnétique dite de Laplace.
F= IaB = 0,82 *0,3*0,6 ~0,15 N.


  

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