Fusée en direction d'Alpha du Centaure. Concours Avenir 2014

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Cet exercice nous envoie dans le futur, quand les fusées atteindront des vitesses proches de la vitesse de la lumière. Il sera alors possible d’envisager la visite d’autres systèmes stellaires, comme Alpha du Centaure (constitué de trois étoiles et au moins une planète), situé à 4,3 années lumière de nous, soit 4×1016 m.
La fusée part de la Terre, en direction d’Alpha du Centaure, à t = 0 s à vitesse nulle.
On fera l’approximation que dans le référentiel terrestre, considéré galiléen, la trajectoire de la fusée est une droite.
Durant la phase d’accélération, l’accélération est maintenue constante et limitée à 1 “G” (soit a = 10 m.s–2) pour des raisons de confort. En négligeant les effets relativistes dans un premier temps, on recherche l’ordre de grandeur de la durée de la phase d’accélération.
L’accélération étant constante, on peut écrire la relation suivante, avec Dv la variation de la vitesse pendant la durée Dt a = Dv/Dt (exact ) ; a =½ Dt/Dv ;  a = ½mDv2 ; a =½Dv/Dt.
Pour atteindre une vitesse (presque) égale à la célérité de la lumière dans le vide, la durée Dt de l’accélération est :
1,5 107 s ; 3 107 s  ( exact ) ; 6 107 s ; 1,2 108 s.
Dt = Dv / a =  3 108 /10 = 3 107 s.
La distance d parcourue lors de cette phase, en fonction du temps, est :
d = at ; d = ½at2+ct ; d = ½at2 ( exact ) ; d = ½at + ct2.
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré avec une vitesse initiale nulle.
Pendant la phase d’accélération, la fusée parcourt la distance d = 5×1015 m. De même, il faudra prévoir une distance identique pour la décélération jusqu’à l’arrivée dans Alpha du Centaure, puisque le problème est symétrique.
Dans le référentiel terrestre, la durée de la phase centrale du trajet (à vitesse constante) avant de commencer la décélération, est :
Dt = 106 s ; Dt = 107 s ; Dt = 108 s ( exact ) ; Dt = 109 s.
Distance parcourue à vitesse constante v ~3 108 m/s : 4 1016-2 *5 1015 = 3 1016 m.
Dt = 3 1016 / (3 108) =108 s.
Comme la fusée ne peut pas atteindre exactement la vitesse de la lumière dans le vide, on cherche maintenant quelle vitesse précise lui donner pour que malgré tout, dans le référentiel propre de la fusée, le voyage paraisse raisonnablement court.
On donne la relation entre la durée du parcours Dt mesurée depuis la Terre, Dt0 mesurée dans le référentiel propre de la fusée, v la vitesse de la fusée (par rapport au référentiel terrestre) et c la vitesse de la lumière dans le vide :
Dt0 = Dt ( 1-(v/c)2)½.
Dans le référentiel de la fusée lancée à une vitesse très proche de la célérité de la lumière dans le vide, l’expression de la vitesse v' de la lumière est :
v'~0 ; v' = c( 1-(v/c)2)½ ; v' = c( 1-(v/c)2)-½ ; v' = c  (exact ).
Quelque soit le référentiel la vitesse de la lumière dans le vide est une constante.
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On souhaite que la phase à vitesse constante dure 100 fois moins longtemps dans le référentiel propre de la fusée que dans le référentiel lié à la Terre. La vitesse v de la fusée par rapport à la Terre doit être :
v = 0,99999½c ; v = 0,9999½c ( exact ) ; v = 0,999½c ; v = 0,99½c. 
Dt0 / Dt  =0,01 = ( 1-(v/c)2)½ ;  1-(v/c)2 = 1 10-4 ; (v/c)2 =1- 1 10-4 = 0,9999 ; v = 0,9999½c.

À mi-chemin, on envoie depuis la fusée un message radio en direction d’Alpha du Centaure, à la fréquence f0 = 1 GHz. Quelle est l’affirmation exacte parmi les suivantes :
- pour recevoir le message, il faut “écouter” une fréquence supérieure à f0 ; ( exact ) ;
- pour recevoir le message, il faut “écouter” une fréquence inférieure à f0 ;
- le message arrivera plus tôt que si la fusée se déplaçait en sens inverse ;
- à la réception, le texte du message semblera accéléré.

Le voyage à bord de la fusée dure environ deux ans. Le message radio que l’on envoie à mi-parcours en direction d’Alpha du Centaure, arrivera à destination :
- 1 heure avant la fusée (3×103 s)
- 0,9 an avant la fusée (339 jours)
- 1,15 an avant la fusée
- on ne peut pas le dire, cela dépend du référentiel. ( exact ).

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En octobre 2012, une équipe de chercheurs européens a découvert une planète en orbite autour d’une des étoiles les plus proches de nous, Alpha du Centaure B.
Quand une planète est en orbite autour de son étoile, l’étoile elle-même n’est pas tout à fait immobile, même quand elle est beaucoup plus massive. En effet, puisque l’étoile exerce une force gravitationnelle sur la planète, la 3ème loi de Newton implique que réciproquement, la planète exerce la même force gravitationnelle sur l’étoile.
Les chercheurs ont effectué des mesures de la vitesse radiale de l’étoile (la vitesse à laquelle l’étoile s’approche ou s’éloigne de nous). En étudiant les conséquences de l’effet Doppler sur la lumière que l’étoile nous envoie, ils ont déterminé que l’étoile tourne autour du centre de gravité du système {étoile+planète} avec une période de 3×105 s (qui correspond aussi à la période de révolution de la planète autour de l’étoile) et une vitesse orbitale moyenne de 0,5 m.s–1 (très faible mais mesurable !).
On note T la période orbitale, M la masse de l’étoile, a le demi-grand-axe de la trajectoire elliptique de la planète autour de l’étoile et G la constante de gravitation universelle : G = 6,7×10–11 m3.kg–1.s–2. La 3ème loi de Kepler est :
a3/T2 = GM/(4p2) ( exact ) ; a2/T3 = GM/(4p2) ; T3/a2 = GM/(4p2) ; T2/a3 = GM/(4p2) .
La masse M de l’étoile est connue par ailleurs : M = 2×1030 kg. Le demi-grand-axe de l’orbite elliptique de la planète est :
(3 1031)½ = 5 1015 m ; (3 1029)1/3 = 7 109 m  ( exact ) ; (3 1027)1/2 = 5 1013 m ; (3 1025)1/3 = 3 108 m.
GM/(4p2) ~6,7×10–11 *2 1030 / (40) ~3,35 1018 ; T2 =9 1010 ;
a = (3,35 1018 *9 1010 )1/3 = (3 1029 )1/3 =6,7 109 m.
On cherche également à déterminer la masse de la planète. Pour cela il faut d’abord calculer le demi-demi-axe de l’orbite que décrit l’étoile autour du centre de gravité du système {étoile+planète}. Pour cela, on suppose que cette trajectoire est circulaire : l’étoile décrit un cercle de rayon r à la vitesse orbitale v = 0,5 m.s–1.
Le rayon de la trajectoire de l’étoile est :
r = vT/(4p2) ; r = 4 p2T/v ; r = 2 p T / v ; r = vT / (2p)  ( exact ).
L'étoile décrit la circonférence 2 p r en une durée T à la vitesse v : 2 p r = v T.
Pour en déduire la masse de la planète, il ne restera qu’à exploiter les propriétés mathématiques du centre de gravité :
Métoile r = Mplanète a.
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