La plongée sous marine : ondes acoustiques en milieu marin, protection thermique : Agrégation interne 2014.

Ondes acoustiques en milieu marin.
L’eau est considérée ici comme un milieu fluide suffisamment compressible pour que lui soit associé un coefficient de compressibilité isentropique c_s défini par :

, µ est la masse volumique et P la pression.
μ
Justifier l’hypothèse d’une « transformation isentropique » dans le cas de la propagation d’une onde sonore.
La transformation est réversible : les effets dus à la viscosité sont négligeables, le milieu marin étant suffisamment élastique et parfait.
La durée caractérisant les phénomènes de diffusion thermique est très supérieure à la durée caractérisant les variations au cours du temps des grandeurs étudiées : en conséquence la transformation est adiabatique.
Une transformation réversible et adiabatique est isentrope.
On considère une onde sonore se propageant dans un milieu fluide. On néglige les effets de la viscosité et de la pesanteur. En l’absence de l’onde, la masse volumique du milieu vaut µ₀, la pression locale P₀, et le fluide est au repos par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.
Lors du passage de l’onde, le fluide subit une petite perturbation qui modifie localement la masse volumique, la pression et la vitesse v d’une particule mésoscopique de façon suivante :

Les grandeurs scalaires ou vectorielles d’indice 1 sont des infiniment petits du premier ordre.
Rappeler les hypothèses de « l’approximation acoustique ».
Les équations peuvent être linéarisées :
le fluide en équilibre est perturbé par une onde sonore, mais les écarts des valeurs de P et µ sont très faibles ( infiniment petits du premiers ordre ).
On rappelle l’équation locale de la conservation de la masse obtenue en mécanique des fluides :

Justifier en quoi cette équation traduit la conservation de la masse.
Soit une portion de fluide de section S et de longueur dx, soit j le vecteur courant, soit dm = µSdx la masse du volume dv = Sdx, soit d²m la variation de masse pendant dt, on va établir le bilan entre deux instants proches t et t+dt :

Par analogie avec l’équation locale traduisant la conservation de la masse, écrire deux autres équations locales de conservation rencontrées dans d’autres domaines et préciser pour chacune d’elles sa signification physique.
En électrocinétique et électromagnétisme : la charge se conserve.
Electromagnétisme dans le vide : l'énergie se conserve.
On rappelle l’équation d’Euler obtenue en mécanique des fluides :

Expliciter ce que traduit cette équation. Rappeler les hypothèses liées à sa validité.
Cette équation exprime la seconde loi de Newton à une portion de fluide.
Le premier terme est l'accélération locale, le second l'accélération convective et le terme de droite les forces volumiques. Dans le cas de l'onde acoustique la seule force volumique correspond au gradient de pression.
En utilisant l’approximation acoustique, linéariser les deux équations ci-dessus ainsi que l’expression de c_s.

Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par la surpression P₁.

En déduire l’expression de la célérité c de l’onde en fonction de µ₀ et c_s.
On identifie c_sµ₀ à 1/c² soit c = (c_sµ₀)^-½.
Comparer les valeurs des célérités du son dans l’air c_a, et dans l’eau, c_e.
Dans l'air : c_a = (0,7 10^-5 *1,2)^-½ =345 ~3,5 10² m/s ;
dans l'eau : c_e = (5,0 10^-10 *1,0 10³)^-½ =1414 ~ 1,4 10³ m/s.