Monte-tuiles,
chauffage au sol, fibre optique. Bts géomètre 2014
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Monte-tuiles.
Pour monter les tuiles sur le toit, le maçon dispose d’un monte-tuile
constitué d’une rampe métallique inclinée d’un angle a
par rapport à l’horizontale sur lequel peut coulisser un casier
contenant les tuiles. Le casier est tracté par un câble relié à un
moteur électrique. On suppose que la force de traction F exercée par
le câble sur le casier est constante et on néglige les frottements du
casier sur la rampe. On considère que le casier part du point A sans
vitesse initiale et arrive au point B avec unevitesse v B=
0,10 m.s-1.
Masse du système {casier + tuile} : M = 60,0 kg ; intensité de la
pesanteur : g = 9,81 m.s-2 ; longueur AB : AB = 8,50 m ;
angle d’inclinaison : a =
60,0°.
Réaliser un bilan
des forces s’exerçant sur le système {casier + tuile}.Faire un schéma
du système étudié sans souci d’échelle et représenter les forces.
Le système est soumis à son poids, (vertical, vers le bas, valeur Mg ),
à l'action du plan ( perpendiculaire au plan en l'absence de
frottements ) et à la force motrice F ( dirigée suivant le câble, vers
le haut ).
Exprimer
l’énergie cinétique au point A et au point B en fonction des différents
paramètres et calculer leurs valeurs respectives EcA et EcB.
E cA=0 ( vitesse nulle en A ) ; E cB = ½Mv B2=0,5*60*0,10 2
=0,30 J.
Exprimer
le travail de la force de traction F lors du déplacement du point A
au point B.
Le travail est moteur et vaut W F = F AB. Donner l'expression de l'angle ß en fonction de a, nair et nC.
Relation de Descartes pour la réfraction : nair sin a = nC sin ß ; sin ß = nair sin a / nC ; ß = arsin (nair sin a / nC)
Calculer ß. a = 17,0.
ß = arsin (1,00 sin 17 / 1,52) =11,1.
Exprimer
le travail du poids lors du déplacement du point A au point B en
fonction de M, g, AB et a.
Le travail du poids est résistant en montée et vaut : W P =
-Mg AB sin a.
En
utilisant le théorème de l’énergie cinétique entre les points A et B,
déterminer la valeur de la force de traction F.
Le travail de Rest nul, cette force est perpendiculaire au déplacement
AB.
EcB - EcA=WF +WP. 0,30 = AB ( F-Mg sin a ).
F = 0,30 / AB +Mg sin a =0,30 / 8,5 + 60*9,81 sin 60 =
509,7778 ~5,10 102 N.
Le maçon lâche une tuile cassée du toit du point C sans vitesse
initiale. On assimile la tuile cassée à un point matériel.
On admet que la tuile tombe en chute libre.
Masse de la tuile cassée : m = 1,50 kg ; hauteur du point C par rapport
au sol : h = 7,40 m.
En appliquant la
deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées de l’accélération
a de la tuile dans le repère donné . Déterminer les coordonnées de la
vitesse v de la tuile. Déterminer les équations horaires du mouvement.
 Donner l'expression de l'angle ß en fonction de a, nair et nC.
Relation de Descartes pour la réfraction : nair sin a = nC sin ß ; sin ß = nair sin a / nC ; ß = arsin (nair sin a / nC)
Calculer ß. a = 17,0.
ß = arsin (1,00 sin 17 / 1,52) =11,1.
Déterminer
l’instant tS où la tuile touche
le sol.
y=0 ; tS =(2OC/g)½ =(2*7,4 /9,81)½
=1,23 s.
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Chauffage sol.
Le propriétaire décide de faire installer un chauffage au sol au rez de
chaussée de sa maison avec circulation d’eau chaude. Pour cela, on
place un serpentin de diamètre D2 au sol, sur lequel on
coule une dalle. Un tuyau de diamètre D1 relie la chaudière
située au premier étage (point A) au rez de chaussée (point B). Un
rétrécisseur permet de relier le tuyau au serpentin. L’eau est
considéré comme un fluide parfait, et le régiment permanent.
D1 = 20,0 mm ; D2 = 14,0 mm ; hauteur du point A
: zA = 3,50 m ; hauteur du point B : zB = 0,100 m
;
masse volumique de l’eau : r
= 1,00x103 kg.m-3.
On suppose que l’eau ne circule pas. Un manomètre placé en A indique
une pression pA = 2,00x105 Pa.
Donner
l’expression de la pression pB au point B.
Calculer pB.
pA-pB = rg(
zA-zB) ; pB =pA+rg( zA-zB) =
2,00 105 + 1000*9,81*3,40 =2,3354 105 ~2,34 105
Pa.
L’eau circule dans le tuyau entre les points A et B avec un débit
volumique qV= 12,0 L.min-1.
Calculer
la vitesse v1 de l’eau dans le
tuyau de diamètre D1.
vitesse (m/s) = débit ( m3s-1) divisé par la section (m2) ; débit : 12,0 10-3/60 =2,00 10-4 m3s-1.
Section pD12/4 = 3,14 *(20,0 10-3)2/4 =3,1416 10-4 m2 ; v1 = 2,00 / 3,1416 =0,63662 ~0,637 m/s.
On représente un agrandissement de la jonction entre le tuyau et le
serpentin.
On relève la pression au point B : pB = 2,33x105 Pa.
Sans calcul, comparer, en justifiant la réponse, la vitesse de
l’eau dans le tuyau et dans le serpentin.
Le débit volumique est constant ; la vitesse est inversement proportionnelle à la section, soit au carré du diamètre.
Quand le diamètre diminue, la vitesse augmente.
Déterminer la vitesse v2 de l’eau dans le serpentin de diamètre
D2.
(D1/D2)2 = (20/14)2 = 2,0408 ; v2 = (D1/D2)2 v1 = 2,0408*0,63662 ~1,30 m/s.
Exprimer puis calculer la pression p de l’eau dans le serpentin.
Invariant de Bernoulli : p1 +½rv12 +rgz1 = p +½rv22 +rgz1 ; pB +½rv12 = p +½rv22 ;
p = pB +½rv12 -½rv22 =2,33 105 +500(0,6372-1,302) =2,32 105 Pa.
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Fibre optique.
On
considère une fibre optique à saut d’indice dans laquelle l’indice de
réfraction varie brusquement entre le coeur et la gaine de la fibre. On
représente une coupe longitudinale de
cette fibre optique .
Un rayon lumineux arrive sur l’interface séparant l’air et le coeur de
la fibre au point d’incidence I avec un angle d’incidence a.
Donner l'expression de l'angle ß en fonction de a, nair et nC.
Relation de Descartes pour la réfraction : nair sin a = nC sin ß ; sin ß = nair sin a / nC ; ß = arsin (nair sin a / nC)
Calculer ß. a = 18,5.
ß = arsin (1,00 sin 18,5 / 1,52) =12,049 ~12,0.
Le rayon réfracté au point I se propage dans le coeur de la fibre
jusqu’à atteindre l’interface entre le coeur et la gaine, au point J
avec un angle d’incidence i.
Donner la relation liant l’angle ß et l’angle i. Vérifier que l’angle d’incidence i est égal à 78,0°.
ß + i = 90° ; i = 90-ß = 90-12,049 = 77,951 ~78°.
Le rayon lumineux se propage dans la fibre optique.
Quelle est la condition sur i pour que la lumière se propage ? Nommer le phénomène mis en jeu.
Le rayon se propage dans la fibre dans la mesure où il y réflexion totale en J.
Calculer l’angle limite de réfraction ilim au point J.
En J, dans l'hypothèse d'une réfraction : ( on note r, l'angle réfracté )
nC sin i = nG sin r ; la valeur maximale de sin r est 1.
Dans ce cas limite : sin ilim =nG / nC= 1,48 / 1,52 = 0,974 ; ilim =76,8°.
En J, si l'angle d'incidence i est supérieur à 76,8 °, il y a réflexion totale.
La valeur de l’angle i trouvée vérifie bien la condition de propagation.
Transmission de l’information.
On considère que la fibre utilisée a pour longueur L = 1,00 km.
Montrer que la vitesse de la lumière dans le coeur de la fibre est égale à 1,97×108 m.s-1.
v = c / nC = 3,00 108 /1,52 =1,9736 108 ~1,97 108 m/s.
On considère un rayon incident qui entre dans la fibre en incidence normale (a = 0°).
Calculer la durée t du trajet de la lumière dans la fibre jusqu’à la sortie.
t = L/v = 1,00 103 / (1,9736 108)=5,0666 10-6 ~5,07 10-6 s.
Si le rayon arrive avec l’angle d’incidence maximal, la distance parcourue par la lumière dans la fibre est : L’ = 1,014 km. Calculer la durée t’ du trajet de la lumière dans la fibre jusqu’à la sortie.
t' = L/v = 1,014 103 / (1,9736 108)=5,1376 10-6 ~5,14 10-6 s.
Déterminer la différence Δt entre les deux durées de transmission du signal dans la fibre.
Dt = t'-t =(5,1376-5,0666) 10-6 =7,10 10-8 s.
On détermine le débit maximal (en bits par seconde) d’une fibre optique en appliquant la formule suivante : débit = 1 / Dt.
Déterminer le débit maximal de cette fibre.
Débit = 1 /(7,10 10-8) =1,41 107 bits s-1.
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