Un peu de balistique : bac S Amérique du Sud 2014

Lors de fouilles préventives sur un chantier de travaux publics, on a retrouvé ce qui ressemble à une arme à
feu. Il s’agit d’un ancien pistolet lance-fusées en bronze datant probablement de la première Guerre Mondiale. Il
est dans un état de conservation assez remarquable. Ce type de pistolet était très utilisé lors de cette guerre car, en plus de lancer des fusées éclairantes, il pouvait servir de moyen de communication. En effet, à l’époque très peu de moyens étaient mis à disposition des troupes : les ondes hertziennes étaient très peu utilisées et c’étaient des kilomètres de câbles téléphoniques qui devaient être déroulés pour permettre la transmission de messages divers et variés.
Ainsi les pistolets signaleurs se sont avérés très utiles.
Durée de visibilité de la fusée.
Sur la notice des fusées éclairantes que l’on peut utiliser dans ce type de pistolet, on trouve les informations
suivantes : Cartouche qui lance une fusée éclairante s’allumant 1,0 seconde après son départ du pistolet et éclaire d’une façon intense pendant 6 secondes environ. Masse de la fusée éclairante : m_f = 58 g.
On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme, de valeur g = 9,8 m.s⁻². On négligera toutes les actions dues à l’air ainsi que la perte de masse de la fusée pendant qu’elle brille et on considèrera cette dernière comme un objet ponctuel.
On définit un repère (O,i ,j) avec O au niveau du sol et tel que la position initiale de la fusée éclairante à la sortie du pistolet soit à une hauteur h = 1,8 m. Le vecteur vitesse initiale v₀ est dans le plan (O,x,y) ; Ox est horizontal et Oy est vertical et orienté vers le haut.
À l’instant t = 0 s, le vecteur vitesse de la fusée éclairante fait un angle α égal à 55 ° avec l’axe Ox et sa valeur est v₀ = 50 m.s⁻¹.
Représenter le vecteur champ de pesanteur g sur le schéma donné et tracer qualitativement l’allure de la trajectoire suivie par la fusée éclairante dans ce champ de pesanteur.

En utilisant une loi de Newton que l’on énoncera, déterminer les coordonnées du vecteur accélération de la fusée éclairante : a_x(t) suivant x et a_y(t) suivant y.
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées au système est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération du centre d'inertie du système.
La fusée est soumise uniquement à son poids, vertical, orienté vers le bas, valeur m_fg. En conséquence a_x(t) = 0 et a_y(t) = -g.
En déduire les expressions des coordonnées v_x(t) et v_y(t) du vecteur vitesse de la fusée éclairante et montrer que les équations horaires du mouvement de la fusée s’écrivent x(t) = v₀.cos(α).t et y(t) =-½gt² + v₀.sin(α).t +h.
La vitesse est une primitive de l'accélération : v_x(t) = a_x(t) + constante et v_y(t) = a_y(t) + autre constante.
Les constantes sont déterminées par la vitesse à l'instant t=0.
v_x(0) = 0 + constante =v₀.cos(α).
v_y(0 = -g*0 + autre constante = v₀.sin(α).
v_x(t) =v₀.cos(α) et v_y(t) = -gt +v₀.sin(α).
La position est une primitive de la vitesse.
x(t) = v₀.cos(α) t + constante ; y(t) = -½gt² +v₀.sin(α) t + autre constante.
Les constantes sont déterminées par la position à l'instant t=0.
x(0) = 0 +constante = 0 ; y(0) = h = autre constante.
x(t) = v₀.cos(α).t et y(t) =-½gt² + v₀.sin(α).t +h.
Déterminer la valeur de la durée du vol de la fusée éclairante.
Résoudre y(t) =-½gt² + v₀.sin(α).t +h = 0.
-4,9 t² +50*sin 55 t + 1,8 = 0 ; t²-8,36 t -0,367=0.
D =8,36²+4*0,367 =71,36 ; D^½ = 8,447.
t =(8,36 + 8,447)/2 = 8,4 s ; l'autre valeur est négative : elle ne peut pas convenir.