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Le phosphore 32 3215P est radioactif. Sa désintégration forme du soufre ( Z = 16). Sa demi-vie radioactive est égale à t½
= 15 jours. Il est utilisé dans le traitement de certaines pathologies
du sang ; la dose thérapeutique maximale autorisée est de 5,0 108 Bq.
Etablir l'équation de désintégration en justifiant. De quelle type de radioactivité s'agit-il ?
3215P ---> A16S + BZX.
Conservation de la charge : 15 = 16 + Z d'où Z = -1. Par suite X est identifié à un électron et B = 0.
Conservation du nombre de nucléons : 32 = A+ B ; A = 32.
3215P ---> 3216S + 0-1e. Radioactivité de type ß-.
On veut déterminer l'évolution du nombre de noyaux radioactifs d'un
échantillon au cours du temps. Pour cela on considère que la variation DN du nombre de noyaux radioactifs est proportionnelle à la population N(t) restante à l'instant t et à la durée Dt. Cette hypothèse est modélisée, par la méthode d'Euler, de la façon suivante :
DN = -l N(t) Dt où N(t) est le nombre de noyaux radioactifs au début de l'intervalle de temps Dt considéré.
t(jours)
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0
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5
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10
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15
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20
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N(t) entités
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1,0 1015
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5,9 1014
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4,5 1014
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3,5 1014
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t(jours)
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25
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30
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35
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40
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45
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N(t) entités
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2,7 1014 |
2,0 1014
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1,5 1014
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1,15 1014 |
0,9 1014
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.
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Définir l'unité la plus adaptée de la constante radioactive et la calculer.
Dans ce cas l s'exprimera en jour-1.
Dt = 5 jours ; N(10) = 5,9 1014 ; DN(15 ; 10) = -1,4 1014 ; l = 1,4 1014 / (5,9 1014*5) = 4,75 10-2 j-1.
N(15) = 4,5 1014 ; DN(20 ; 15) = -1 1014 ; l = 1 1014 / (4,5 1014*5) = 4,44 10-2 j-1.
N(30) = 2,0 1014 ; DN(35 ; 30) = -0,5 1014 ; l = 0,5 1014 / (2 1014*5) = 5,0 10-2 j-1.
Valeur moyenne retenue : l = 4,7 10-2 j-1.
Autre méthode : l = ln2 / t½ =0,693 / 15 = 4,62 10-2 ~ 4,6 10-2 j-1.
Déterminer la population restante à t = 25 j et à t = 40 j.
DN(25 ; 20) = -4,7 10-2 *3,5 1014*5 = -8,225 1013 ; N(25) = 3,5 1014 -8,225 1013 =2,7 1014.
DN(40 ; 35) = -4,7 10-2 *1,5 1014*5 = -3,52 1013 ; N(40) = 1,5 1014 -3,52 1013 =1,15 1014.
Définir
puis calculer l'activité moyenne de l'échantillon pour les 10 premiers
jours, puis les 10 derniers jours de l'étude menée.
L'activité exprimée en becquerel ( Bq) est égale au nombre de désintégrations par seconde.
Activité moyenne durant les 10 premiers jours : -DN(10 ; 0) / (2Dt) = l N(0)/2 = 4,7 10-2 /(2*24*3600) *1,0 1015 =2,7 108 Bq.
Activité moyenne durant les 10 derniers jours : -DN(45 ; 35) / (2Dt )= l N(35) /2= 4,7 10-2 /(2*24*3600) *1,5 1014 =4,14 107 Bq.
Peut-on utiliser cet échantillon pour traiter un patient au bout des 10 premiers jours ?
Loi de décroissance radioactive : A(10) = A(0) exp(-10 l) avec A(0) = l N(0) = 4,62 10-2/ (24*3600)*1,0 1015 =5,35 108 Bq.
A(10) = 5,35 108 exp(-0,462) =3,4 108 Bq.
Cette valeur est inférieure à la dose maximale autorisée 5,0 108 Bq. On peut donc utiliser cet échantillon.
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Quelle est l'expression de la loi de décroissance radioactive. Identifier chacun des termes.
N(t) = N0 exp(-l t ).
N(t) : nombre de noyaux radioactifs présents à la date t ; N0 : nombre de noyaux radioactifs présents à la date t=0 ;
l : constante radioctive en j-1 ; t : temps en jours. Quelle serait le nombre de noyaux restants au bout de 45 jours
?
N(45) = 1,0 1015 exp(-0,0462 *45 ) =1,25 1014.
Pourquoi y a-t-il une différence entre les deux méthodes de calculs ? Comment améliorer la précision de la méthode d'Euler ?
Le pas Dt = 5 j de la méthode d'Euler est bien trop grand par rapport à t½ = 15 j.
Pour améliorer la précision de cette méthode, il faut diminuer le pas Dt ( prendre par exemple Dt = 1 j ).
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