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Le
satellite Lunar Prospector a été mis en orbite autour de la lune en
1998 par la Nasa. l'objectif de sa mission a été d'étudier les
propriétés magnétiques et gravitationnelles de la Lune mais aussi d'y
rechercher la présence d'eau.
L'une des grandes découvertes de Lunar prospector aura été de mettre en
évidence, grâce à un spectromètre, la présence d'eau sous forme de
glace au niveau des pôles, au fond de cratères toujours à l'ombre.
Pour confirmer cette découverte, il fut décidé d'y écraser le satellite
en 1999, au fond d'un cratère, près du pôle sud.
Le crah devait provoquer un nuage de poussières dans lequel les
scientifiques espéraient observer de la vapeur d'eau et obtenir la
preuve supplémentaire de l'existence de l'eau dans le sous-sol lunaire.
Mais le résultat s'est avéré négatif.
On se placera dans le référentiel " lunocentrique" supposé galiléen. On
admettra que le satellite, noté S, était en orbite circulaire autour de
la lune lors de sa mission d'observation et qu'il n'est soumis qu'à la
seule attaction gravitationnelle de la lune.
La lune sera considérée comme une sphère homogène de centre O, de masse
ML et de rayon RL. Le
centre O de la lune et confondu avec le centre de l'orbite circulaire
du satellite. G = 6,67 10-11 m3kg-1
s-2 ; masse du satellite mS
= 295 kg. Altitude du satellite par rapport à la surface lunaire
h = 1,00 102 km.
période de révolution du satellite T = 118 min. Valeur de
l'accélération du satellite : a = 1,45 m s-2.
Exprimer
le rayon de l'orbite r = OS de l'orbite de S en fonction de la période
T et de l'accélération a.
3ème loi de Kepler : T2 /
r3 = 4 p2
/ (GML) ;
Expresion de l'accélération a = GML / r2
;
T2 / r3
= 4 p2
/ (a r2) ; T2 / r =4 p2
/ a ; r = T2 a /(4 p2).
En
déduire la valeur du rayon moyen RL de la lune.
r = RL + h ; RL = T2 a /(4 p2)- h. T = 118*60 =7080 s ; h = 1,00 105 m.
RL = 70802 *1,45 / (4*3,142)
-1,00 105 =1,7411 106 m ~
1,74 103 km.
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Calculer
la masse ML de la lune.
T2 / r3
= 4 p2
/ (GML) ; ML = 4 p2 r3 /T2G).
ML = 4*3,142
(1,7411 106 +
1,00 105)3 / (70802*6,67
10-11) =7,3687 1022 ~ 7,37 1022 kg.
Calculer
la densité moyenne de la lune.
Volume de la lune sphérique : V = 4/3 p RL3
= 4/3 *3,14 (1,7411 106)3
=2,21085 1019 m3.
Masse volumique dela lune : ML /V =7,37 1022
/ (2,21085 1019) =3,333 103
kg m-3 = 3,333 g/cm3.
Densité moyenne de la lune d ~
3,33.
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Afin d'effectuer des mesures
plusprécises, les scientifiques ont progressivement diminué le rayon de
l'orbite de Lunar prospector jusqu'à une altitude h' = 15,0 km par
rapport à la surface de la lune.
Cette nouvelle orbite est également circulaire.
Déterminer
la période T' du satellite à cette altitude.
T'2 / r3
= 4 p2
/ (GML) ; T'2 =4 p2
r3/ (GML).
T' = 2p( r3/ (GML))½ =2*3,14 (1,7411 106
+1,50 104)3/(6,67 10-11
*7,3687 1022) =6,59 103 s
~ 110
min.
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