Un
ballon sonde, en caoutchouc mince très élastique, est gonflé à
l'hélium. Une nacelle attachée au ballon emporte du matériel
scientifique afin d'étudier la composition de l'atmosphère. En montant,
le ballon grossit car la pression atmosphérique diminue. Sa paroi
élastique finit par éclater à une altitude généralement comprise entre
20 et 30 kilomètres.
Après l'éclatement, un petit parachute s'ouvre pour ramener la nacelle
et son matériel scientifique au sol. Il faut ensuite localiser la
nacelle, puis la récupérer pour exploiter l'ensemble des expériences
embarquées.
Mécanique du vol.
L'objectif de cette partie est d'étudier la mécanique du vol du ballon
sonde à faible altitude (sur les premières centaines de mètres). On
peut alors considérer que l'accélération de la pesanteur g, le volume
du ballon Vb et la masse volumique r
de l'air restent constants. On modélisera la valeur de la force de
frottement de l'air sur le système étudié par l'expression : f = K.rair .v² où K est une constante pour les altitudes considérées et v la vitesse du centre
d'inertie du système {ballon + nacelle}.
On supposera qu'il n'y a pas de vent (le mouvement s'effectue dans la
direction verticale) et que le volume de la nacelle est négligeable par
rapport au volume du ballon. Le système {ballon + nacelle} est étudié
dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.
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Condition de décollage du ballon.
Etablir
le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle}, lorsque
le ballon vient juste de décoller. Indiquer le sens et la direction de
chaque force. Donner l'expression littérale de la valeur F de la poussée d'Archimède.
Le
ballon est soumis à son poids et à la poussée d'Archimède. La vitesse
étant quasi-nulle juste après le décollage, la force de frottement est
négligeable.
Soit M la masse du système. Appliquer au système la seconde loi de Newton
(seule la relation vectorielle est demandée). La vitesse initiale du
ballon (juste après le décollage) étant considérée comme nulle, à quelle condition doit satisfaire le vecteur accélération pour que le ballon puisse s'élever ? En déduire une condition sur M.
La poussée doit être supérieure au poids, pour que le ballon s'élève : M < rair VB.
En déduire la masse maximale m"de matériel scientifique que l'on peut embarquer dans la nacelle.
Données : rair= 1,22 kg.m-3 ; volume du ballon : VB = 9,0 m3 ; masse du ballon (enveloppe + hélium) : m = 2,10 kg ;
masse de la nacelle vide : m' = 0,50 kg.
2,10 +0,5 + m" < 1,22*9,0 ; m" < 8,4 kg.
Ascension du ballon.
Montrer que l'équation différentielle régissant le mouvement du ballon peut se mettre sous la forme : Av2+B = dv/dt et donner les expressions de A et B.
La masse de matériel embarqué étant de 2,0 kg, l'application numérique donne A = - 0,53 m-1 et B = 13,6 m.s-2.
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Une
méthode de résolution numérique, la méthode d'Euler, permet de calculer
de façon approchée la vitesse instantanée du ballon à différentes dates
en utilisant la relation suivante :
v(tn+1) = v(tn) + dv(tn) avec dv(tn) = a(tn).dt
tn+1 = tn + dt , où dt est le pas de résolution.
Par cette méthode on souhaite calculer la vitesse v1 à l'instant de date t1 = 0,05 s et la vitesse v2 à l'instant de date t2 = 0,1 s, la vitesse initiale du ballon étant nulle. On prendra dt = 0,05 s.
En utilisant la méthode d'Euler, l'équation différentielle et les valeurs de A et B, recopier et compléter le tableau suivant :
date t (s)
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vitesse v (m/s)
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accélération a (m s-2)
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dv ( m/s)
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t0=0
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0
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13,6
|
0,68
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t1=0,05
|
0,68 |
13,4
|
0,67 |
t2=0,10
|
1,35 |
12,6 |
0,63 |
dv(t0) = a(t0).dt = 13,6 *0,05 =0,68 m/s ;
v(1) = v(t0) + dv(t0) = 0 +0,68 m/s.
a (t1) =-0,53 v12 +13,6 = -0,53*0,682 +13,6 =13,355 ~13,4m s-2 ; dv(t1) = a(t1).dt = 13,355 *0,05 =0,6677 ~0,67 m/s ;
v(2) = v(t1) + dv(t1) = 0,68 +0,6677 = 1,3477 ~1,35 m/s.
a (t2) =-0,53 v22 +13,6 = -0,53*1,34772 +13,6 =12,64 ~12,6 m s-2 ; dv(t2) = a(t2).dt = 12,64 *0,05 =0,632 ~0,63 m/s ;
Vitesse limite du ballon.
Donner l'expression littérale de la vitesse limite vl du ballon en fonction de A et B. Calculer cette vitesse limite.
dvl /dt = 0 ; vl = (-B/A)½ = (-13,6/(-0,53))½ =5,066 ~5,1 m/s.
La méthode d'Euler donne le graphique suivant :
Comparer la vitesse limite calculée à la valeur lue sur le graphique. Les deux valeurs sont en accord.
Variation du poids et de la poussée d’Archimède avec l’altitude.
Le tableau suivant donne quelques valeurs de grandeurs mesurées au voisinage de la Terre.
altitude h(m)
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0
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1000
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2000
|
3000
|
4000
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5000
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6000
|
7000
|
8000
|
9000
|
accéléartion de la pesanteur (m s-2)
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9,8066
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9,8036
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9,8005
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9,7974
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9,7943
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9,7912
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9,7882
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9,7851
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9,7820
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9,7789
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masse volumique de l'air ( kg m-3)
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1,22
|
1,11
|
1
|
0,9
|
0,82
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0,73
|
0,66
|
0,59
|
0,52
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0,46
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(g0-g) / g0 *100 ( %)
|
0
|
0,03
|
0,062
|
0,094
|
0,13
|
0,16
|
0,19
|
0,22
|
0,25
|
0,28
|
En
calculant l'écart relatif, montrer que pour les altitudes figurant dans
le tableau précédent, l'accélération de la pesanteur peut être
considérée comme constante à moins de 1 % près.
Voir dernière ligne du tableau. Onpeut donc considérer que le poids est constant entre les altitudes 0 m et 9 000 m.
La poussée d'Archimède.
En considérant qualitativement l'évolution avec l'altitude de chaque
paramètre intervenant dans la poussée d'Archimède (dont la valeur est
notée F ), choisir et justifier la conclusion qui convient parmi les propositions suivantes :
a- F augmente avec l'altitude.
b- F reste constante avec l'altitude
c- F diminue avec l'altitude.
d- On ne peut pas conclure.
F = rair VB g ; g est à peu près constant pour une altitude inférieure à 9 000 m.
rair est
à peu près divisée par trois en passant du sol à l'altitude de 9000
m. Le volume du ballon augmente : en supposant que le volume du
ballon ne triple pas, alors la poussée d'Archimède va décroître avec
l'altitude.
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