Force de Laplace, chute libre, circuir RL, batterie : concours de la marine marchande 2011

Aurélie 08/11/11

Force de Laplace, chute libre, circuir RL, batterie : concours de la marine marchande 2011.
Filière professionnelle machine.

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Force de Laplace.
Une tige de cuivre rigide, verticale, homogène de longueur 20 cm peut se mouvoir autour d’une de ses extrémités O. L’autre extrémité plonge dans une cuve d’un liquide conducteur permettant de maintenir le contact électrique avec un générateur de tension continue. Le poids de la tige est de 0,06 N.
L’intensité du courant électrique dans le circuit est de 4 A.
La tige est plongée toute entière dans un champ magnétique uniforme B de valeur 0,01 T.

Donner les caractéristiques de la force de Laplace qui s’exerce sur la tige.

La force de Laplace est perpendiculaire au plan vertical défini par la tige et le champ magnétique; son sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite. Sa valeur est F = B I L, avec L : longueur de la tige placée dans le champ magnétique.
Donner les nouvelles caractéristiques de la force de Laplace si les bornes du générateur sont permutées.
Seul le sens du courant change ; seul le sens de la force de Laplace change.

En admettant que la longueur de la partie de la tige située dans le liquide conducteur est négligeable et que la force de Laplace s’applique au milieu de la tige, calculer la déviation angulaire α de la tige par rapport à la verticale.
La tige est en équilibre sous l'action de son poids P, de la force de Laplace F et de l'action en O du point de fixation.

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Chute libre.
D’un point O situé à une distance h = 2 m au-dessus du sol, une bille est lancée vers le haut avec une vitesse verticale v₀ = 4 m.s^-1. On néglige les frottements de la bille dans l’air.
Calculer à quelle hauteur la bille monte au-dessus de O.
La bille n'est soumise qu'à son poids : travail résistant du poids en montée W = -mgH avec H : altitude atteinte par rapport au point de départ.
La vitesse est nulle au point le plus haut. Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre le point de départ et le point le plus haut.
0-½mv₀² = -mgH ; H = v₀² /(2g) = 16/20 = 0,8 m soit 2,8 m par rapport au sol.
Calculer à quelle vitesse v’₀ la bille repasse par le point O.
La bille n'est soumise qu'à son poids : le poids ne travaille pas, même altitude des points des départ et d'arrivée.
Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre le point de départ O et le point de passage en O au cours de la descente.
½mv'₀² =-½mv₀² =0 d'où v'₀ = v₀ = 4 m/s.
Etablir l’équation horaire de la trajectoire de la bille entre O et le sol après son deuxième passage par O.
On choisit un axe vertical descendant d'origine au point O.
accélération a = g ; vitesse initiale v'₀ ; altitude initiale : 0.
La vitesse est une primitive de l'accélération : v = gt +v'₀.
La position est une primitive de la vitesse : z = ½gt² +v'₀ t.
Calculer le temps mis par la bille pour atteindre le sol à partir de son second passage en O. On donne g = 10 m.s^-2.
h= ½gt² v'₀ t ; 0= 5t² +4 t -2 ; D = 4²+2*5*4=56 ; D^½ =7,48 ; t = (-4+7,48) / 10=0,348 ~0,35 s.

Dipole ( RL).
Un circuit comporte en série une inductance L= 0,1 H (de résistance interne négligeable) et une résistance R= 150 ohms. L’ensemble du circuit consomme une puissance de 50 W. Le circuit
est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace U=230 V et de fréquence f=50 Hz.
Déterminer la puissance active consommée par l’inductance seule en justifiant la réponse.
La bobine inductive ne consomme pas de puissance active. Pendant une demi-période elle stocke de l'énergie ; pendant la demi-période suivante, elle restitue cette énergie.
Calculer le courant traversant le circuit et la tension aux bornes de tous les éléments du circuit.
Impédance Z = ((Lw)² +R²)^½ avec w = 2 p f = 2*3,14*50 = 314 rad/s.
Z =(31,4² +150²)^½ =153,25 ohms.
Intensité efficace : I = U /Z = 230 / 153,25 =1,50 A.
Tension eficace aux bornes de la résistance : RI = 150*1,5 = 225 V.
Tension efficace aux borne de la bobine inductive : LwI = 0,1*314*1,50 =47,1 ~47 V.
Déterminer par une représentation de Fresnel le déphasage entre la tension d’alimentation et le courant. En déduire le facteur de puissance de l’ensemble du circuit.

Facteur de puissance du circuit : cos f = cos 11,8 ~0,98.
Calculer la puissance réactive absorbée par l’inductance.
Seule la bobine absorbe de la puissance réactive UI sin f =230 *1,50 * sin 11,8 =70,6 ~71 var.
ou bien LwI² = 0,1*314*1,5² ~71 var.

Batterie.
On considère une batterie d’accumulateurs. On fait les deux mesures suivantes :
· la tension U₀ à vide est de 12 volts quand la batterie ne débite pas ;
· la tension en charge U_C est de 11,95 volts quand la batterie débite un courant d’une intensité de 5 ampères.
Représenter le modèle de Thévenin équivalent de cette batterie.

Calculer la valeur de ses constituants.
U₀ = E = 12 V ; 11,95 =12-5 r ; r = 0,01 ohm.
Un chargeur délivre maintenant un courant électrique d’intensité égale à 8 ampères dans cette batterie.
Calculer la tension à ses bornes en utilisant le modèle équivalent ci-dessus.
U = 12-0,01*8 = 11,92 V.
La batterie débite maintenant sur un moteur électrique qui tourne à sa vitesse nominale et qui est modélisé ci-dessous. E’ représente la force contre électro-motrice de l’induit à vitesse nominale.

Calculer le courant débité en régime permanent, quand le moteur tourne à sa vitesse nominale. On donne : E’ = 11 V, r’ = 0,1ohm et L = 0,5 H.
L'intensité étant constante, la tension aux bornes de la bobine inductive est nulle. U = E'+r' i = E-r i.
i = (E-E') / (r+r') = (12-11) / (0,1 +0,01) = 1 /0,11 =9,091 ~9,1 A.
Déterminer l’énergie accumulée dans l’impédance dans ces circonstances.
½L i² = 0,5 *0,5 *9,091² =20,67 ~21 J.

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