Mise en rotation du disque et frottements, écoulement de Couette plan : concours Capes  2012. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

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Cette partie est consacrée à l'évaluation du couple de freinage dû aux frottements de l'air sur le disque. Considérons un problème plus simple : un écoulement de Couette plan. Une plaque rectangulaire d'épaisseur h selon l'axe vertical Oz, a de très randes dimensions suivant Ox et Oy. Elle est en mouvement de translation horizontale rectiligne uniforme selon Ox, avec une vitesse . On donne vp0 = 5,00 m/s. Elle se déplace entre deux parois planes d'abscisses verticales respectives -(½h+h') et ½h+h'. Ces deux parois sont fixes dans le référentiel d'étude R0, supposé galiléen. On prendra h' =1,50 mm. L'air, de masse volumique µa = 1,20 kg m-3, est considéré comme un fluide newtonien, de viscosité dynamique ha = 1,80 10-5 SI. Quel est le nom du physicien associé à l'unité de viscosité dynamique ? Pascal. Comment s'exprime cette unité à partir des bases du système internationnal d'unités ? Pa s ou M L-1 T-1. Donner l'expression du nombre de Reynolds de façon générale, en précisant les grandeurs physiques utilisées. Quel est l'intérêt de ce nombre ? Le nombre de Reynolds (sans unité) permet de déterminer si un écoulement est laminaire ou turbulent. r : masse volumique du fluide (kgm-3) ; v : vitesse moyenne (ms-1), D : diamètre de la conduite ou grandeur caractéristique (m), h = viscosité dynamique du fluide (Pa s). Re < 2000 écoulement laminaire ; Re > 3000 écoulement turbulent. Evaluer la valeur du nombre de Reynolds et conclure quant à la nature de l'écoulement. Re = 1,20 *5,00 *1,50 10-3 / 1,80 10-5 = 500. ( écoulement laminaire ). On rappelle l'équation de Navier-Stokes : Dans le contexte de l'étude, la pesanteur peut être négligée, la pression sera considérée comme uniforme et l'écoulement en régime permanent. Montrer que vx(z) vérifie l'équation d2vx(z) / dz2 = 0. En régime permanent, le membre de gauche est nul. Le premier terme du membre de droite est nul : " pression sera considérée comme uniforme ". Le second terme du membre de droite est nul : " la pesanteur peut être négligée". L'écoulement est plan et le mouvement est une translation horizontale rectiligne uniforme selon Ox, avec une vitesse . Par suite : d2vx(z) / dz2 = 0. En déduire les deux lois vx+(z) et vx-(z) respectivement pour les zones ½h+h' > z > ½h et  -(½h+h') < z < -½h. vx(z) = A z + B avec A et B des constantes d'intégration. Zone ½h+h' > z > ½h : vx(½h+h') =0 = A (½h+h') + B (1) ; vx(½h) =vp0= A (½h) + B (2). (1)-(2) donne : A (½h+h')-A (½h) = -vp0 ; Ah' = -vp0 ; A = - vp0/ h' ; B = vp0/ h' (½h+h'). vx+(z) = - vp0/ h' z +vp0/ h' (½h+h') = vp0/ h'(-z + ½h+h'). Zone -(½h+h') < z < -½h : vx(-½h-h') =0 = -A (½h+h') + B (3) ; vx(-½h) =vp0= -A (½h) + B (4). (3)-(4) donne : -A (½h+h')+A (½h) = -vp0 ; Ah' = -vp0 ; A = vp0/ h' ; B = vp0/ h' (½h+h'). vx-(z) = vp0/ h' z +vp0/ h' (½h+h') = vp0/ h' (z + ½h+h'). On considère une surface élémentaire d2S = dxdy de la partie supérieure ( en z = ½h) de la plaqque mobile. Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu. Quelle est la force élémentaire de frottement d2F+ exercée par l'air sur cet élément de surface ? d2F+ = ha dxdy dvx+(z) /dz ex= -ha dxdy vp0/ h' ex. Quelle est la force élémentaire de frottement d2F- exercée par l'air sur un élément de surface situé à la partie inférieure de la plaque ? d2F- = ha dxdy dvx+(z) /dz ex = ha dxdy vp0/ h' ex. Considérons à présent le lecteur de disques optiques numériques schématisé ci-dessous : Le référentiel d'étude est R0, lié au boitier de lecture. Il est supposé galiléen. Le disque de hauteur h et de rayon Rext = 6,00 cm est animé d'une vitesse angulaire constante . L'air est considéré comme un fluide newtonien. Déterminer la vitesse  d'un point M+, de coordonnées cylindriques (r, q, ½h) appartenant à la face supérieure du disque. Dans un modèle très simplifié, le champ des vitesses dans l'air peut être considéré comme stationnaire et s'écrire ici sous la forme . En utilisant le résultat ci-dessus et en étant très attentif à la nouvelle géométrie du système, évaluer la force élémentaire de frottement exercée par l'air sur un élément de surface d2S = rdrdq de la partie supérieure du disque, située à une distance r de l'axe de rotation. d2F+ = ha rdrdq dvM+(z) /dz  eq= - ha rdrdq W0 r/h' eq= - ha r2drdq W0 / h'eq. F+ = -ha R3ext /3  2 p W0 / h'eq. Déterminer le moment du couple dû aux frottements de l'air sur les deux faces du disque. G =-ha h R3ext /3  2 p W0 / h' ez = - afrott W. Montrer que le moment peut se mettre sous la forme et exprimer afrott en fonction de ha, Rext et h'. afrott = ha h R3ext /3  2 p / h'. Calculer afrott si h' = 1,50 mm , h = 1,20 mm et Rext = 6,00 cm.  afrott =1,80 10-5 *1,20 10-3 *0,063 /3*2*3,14 /(1,5 10-3) =1,47 10-8 N m s.

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