Des
études scientifiques ont mis en évidence une variation anormale du
champ de pesanteur local précédant le déclenchement d'un séisme. Ainsi,
il est nécessaire d'avoir à disposition un instrument qui permette une
mesure suffisamment précise de la valeur g du champ de pesanteur local,
c'est le rôle du gravimètre.
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Des
chercheurs ont réalisé des mesures répétées de g dans différentes
régions de Chine entre 1998 et 2005 à l'aide de gravimètres. Ils ont
constatés une variation sensible de g avant le déclenchement d'un
séisme dans une de ces régions. Le Gal est une unité d'accélération : 1
Gal = 1 cm s-2. Son nom provient de Galilée. Les mesures
sont rassemblées dans le tableau suivant :
Lieu
du séisme
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magnitude
|
date
du séisme
|
variation
de gravité Dg( µGal )
|
| Kunlun
( Xinjiang) |
8,1
|
14
nov 2001
|
130
|
Côte
est de taiwan
|
7,5
|
31
mars 2002
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80
|
Wangging
|
7,2
|
29
juin 2002
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60
|
Jashi
( Xinjiang)
|
6,8
|
24
fév 2003
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60
|
Frontière
entre Russie et Chine
|
7,9
|
28
sept 2003
|
60
|
Gaizhe
( Tibet )
|
6,9
|
9
jan 2008
|
80
|
Yutian
( Xinjiang )
|
7,3
|
21
mars 2008
|
90
|
Wenchuan
( Sichuan )
|
8,0
|
12
mai 2008
|
130
|
Citer
un domaine de recherche dans lequel s'est illustré Galilée.
Astronomie ( découverte des satellites de Jupiter, perfectionne
la lunette astronomique ) et mathématiques.
Donner
une estimation de la valeur de g en m s-2.
9,8 m s-2.
Donner
la variation de gravité en m s-2 précédent le séisme
survenu à Wangging en 2002.
Dg = 60 µGal =
6,0 10-5 cm s-2 = 6,0 10-5 . 10-2
m s-2 = 6,0 10-7m s-2.
Sachant que l'incertitude sur les mesures de g par cette méthode est de 1 x 10-8 m s-2, en déduire le nombre de chiffres significatifs sur g.
g est donné avec le chiffre 9 suivi de huit décimales : g doit donc posséder 9 chiffres significatifs.
Un gravimètre est un appareil
permettant de déterminer la valeur g
du champ de pesanteur. Une des méthodes consiste à mesurer l’accélération d’un
corps qui chute en l’absence de tout frottement. Pour cela on lâche un objet et
on mesure le temps qu’il met pour parcourir une certaine distance.
Dans le dispositif
étudié, un miroir tombant de masse m,
enfermé dans une chambre à vide, est lâché sans vitesse initiale, à la position
z = 0. Un faisceau
laser est envoyé sur une lame semi-réfléchissante qui le sépare en deux au
point A. Une partie
de ce faisceau la traverse et atteint directement le détecteur (trajet S-A-D).
L’autre partie est réfléchie vers le miroir tombant puis poursuit son trajet
jusqu’à atteindre à son tour le détecteur (trajet S-A-B-A-C-A-D). Les deux
parties du faisceau interfèrent au niveau du détecteur.
Le laser utilisé a
une longueur d’onde dans l’air connue avec une grande précision : λ = 632,991357 nm.
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Quel est l'intérêt de la chambre à vide ?
L'action de l'air sur le miroir est nulle : le miroir n'est soumis qu'à son poids ; la chute est libre.
On appelle z la position verticale du miroir tombant. Montrer que son mouvement est décrit par z(t) = ½gt2.
La seconde loi de Newton, projetée sur un axe vertical descendant, conduit à : a = g.
La vitesse est une primitive de l'accélération et la vitesse initiale est nulle : v = gt.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est l'origine de l'axe : z(t) = ½gt2.
Quelles sont les deux grandeurs physiques qu'il faudrait mesurer pour accéder à la valeur de g ?
Il faut mesurer la distance et la durée de la chute.
Mesure de g.
Afin
de mesurer avec une certaine précision la valeur de g, on utilise une
méthode interférométrique. Au cours de la chute du miroir, le détecteur
enregistre l'évolution temporelle de l'intensité lumineuse due aux
interférences entre les deux faisceaux reçus au point D.
A quoi est dû le phénomène d'interférences ?
Le
phénomène d'interférences est dû à la superposition des ondes issues du
laser et empruntant deux chemins différents ( trajets S-A-D et
S-A-B-A-C-A-D )
Que
peut-on dire de l'intensité reçue par le détecteur lorsque les deux
faisceaux interfèrent de manière destructive ? Et de manière
constructive ?
Interférences destructives : l'intensité reçue est minimale, voir nulle.
Interférences constructives : l'intensité reçue est maximale.
Soit Dt = t2-t1 où t2 et t1 représentent respectivement les trajets lumineux S-A-B-A-C-A-D et S-A-D.
Choisir parmi les propositions suivantes, l'expression de Dt lorsque les deux faisceaux interfèrent de manière destructive.
a) kT ; b) ½kT ; c) (2k+1)T/2 ; d) (2k+1)T avec k entier et T la période de l'onde émise par le laser.
DT doit être égale à un multiple impair de la demi-période T : donc (2k+1)T/2.
Dans la suite on admettra que la distance Dz parcourue par le miroir tombant pendant l'intervalle de temps séparant deux interférences destructives vaut 0,25 l où l désigne la longueur d'onde du laser.
Compléter le texte suivant :
La durée t1 du trajet S-A-D est constante. Pour une variation de hauteur du miroir tombant Dz, le trajet S-A-B-A-C-A-D varie de 2Dz à cause de l'aller et retour A-B-A du rayon lumineux. Entre deux interférences destructives consécutives, Dt = t2-t1 varie de T. On en déduit donc que Dz =½l.
Le miroir parcourt au cours de sa chute une distance d = 20 cm.
Choisir
parmi les propositions suivantes la valeur estimée du nombre N
d'interférences destructives détectées. Justifier par un calcul.
a) 6 105 ; b) 6 10-6 ; c) 6 107.
Dz = d = N ( ½l) ; N = 2d / l = 0,40 / ( 632,991357 10-9) ~6 105.
Pourquoi les interférences destructives sont-elles de plus en plus rapprochées dans le temps ?
Le miroir est accéléré ; de plus Dz =½l : la durée du parcours ½l sera de plus en plus petite.
On appelle tn la date de détection de la nième interférence destructive, mesurée avec une grande précision grâce à une horloge atomique.
| nième interférence destructive |
0
|
1
|
2
|
3 |
1000
|
10000
|
| tn (s) |
0
|
2,54033314 10-4
|
3,59257358 10-4 |
4,39998607 10-4 |
8,033238750 10-3 |
2,5403331438 10-2 |
Déterminer la valeur de g avec la meilleur précision possible.
z(tn) - z0 = n l/2 ; ½gtn2-0 = n l/2 ; g = n l / tn2= 10000 *632,991357 10-9/ (2,5403331438 10-2)2 = 9,80881246 m s-2.
Etude du capteur.
Le détecteur est équipé d'une photodiode.
Quel type de conversion effectue une photodiode ?
La photodiode convertit l'énergie lumineuse en énergie électrique.
A quel domaine spectral appartient la radiation du laser utilisé ?
632 nm est compris entre 400 et 800 nm, limites du domaine visible.
On donne les réponses spectrales de deux photodiodes. D'après site intrnet du constructeur Hamamatsu.
A
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B
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Quelle est la photodiode utilisée dans le gravimètre ? Justifier.
A : la sensibilité est quasiment nulle à 600 nm ( 0,6 µm ).
B : la sensibilité est importante vers 630 nm ; cette photodiode sera donc utilisée.
Le capteur détecte les dix mille premières interférences destructives en 25 ms.
Estimer la durée moyenne entre deux interférences destructives consécutives.
2,5 10-2/10000 = 2,5 10-6 s = 2,5 µs.
On définit le temps de réponse d'un capteur comme le temps minimal
qu'il met pour suivre l'évolution temporelle de la grandeur mesurée. Le
temps de réponse est égal à l'inverse de la fréquence de coupure. La
fréquence de coupure est f = 1000 MHz.
La photodiode choisie est-elle adaptée à ce type de mesures ?
1000 MHz = 1,0 109 Hz ; temps de réponse : 1 / (1,0 109) = 1,0 10-9
s, valeur très inférieure à la durée moyenne entre deux interférences
destructives consécutives : la photodiode est donc bien adaptée.
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