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Exercice
5. On
étudie 3 systèmes physiques oscillants (parties A, B, C). Les parties
A, B et C sont indépendantes : seule la partie D utilise les résultats
des autres parties. Partie
A : pendule
simple.
Un pendule est constitué d’une bille de masse m fixée à l’extrémité
d’un fil de longueur L et de masse négligeable. On note q l’angle du fil
par rapport à la verticale. Le système évolue dans le champ de
pesanteur terrestre g.
On supposera que les oscillations sont de faible amplitude,
c’est-à-dire que les angles q
considérés sont petits.
On écarte le pendule d’un angle q0
de sa position d’équilibre et on le lâche à t= 0 avec une vitesse
initiale nulle.
Tous les frottements sont négligés.
La masse est soumise à 2 forces : son poids P et la tension T du fil.
37) On note ℎ
l’altitude de la bille, l’altitude 0 étant prise à la position
d’équilibre. On a la relation :
A) ℎ =
L.sin(q)
B) ℎ =L.cos(q)
C) ℎ = L.(1 − sin(q)) ;
D) h = L(1-cos(q))
Donc D.
38) On
peut affirmer :
A) il y a conservation au cours du temps de l’énergie potentielle de
pesanteur de la bille
B) il y a conservation au cours du temps de l’énergie cinétique de la
bille
C) il y a conservation de l’énergie mécanique de la bille ; vrai.
D) aucune des 3 réponses précédentes
Conservation de l'énergie
mécanique : énergie cinétique + énergie potentielle = constante. énergie cinétique
: ½mv2 = ½mL2q'2 ; énergie potentielle de
pesanteur : mgL(1-cosq). Donc A.
40) En
dérivant la relation précédente, on obtient l’équation différentielle : ½mL2(2q'q") +mgL(0-(-sinq)q')=0 ; mL2q'q" +mgL sinqq'=0 ; donc A.
On admettra que pour des angles q petits, on a : sin(q) ≅ q. 41) On a l’équation différentielle : A) q"+g/Lq=0 ; B) q"-g/Lq=0 ; C) q"+mg/Lq=0 ; D) aucune des 3 réponses précédentes. mL2q'q" +mgL sinqq'=0 donne Lq" +g q=0 soit q" +g/L q=0, donc A.
42) Le mouvement du pendule est alors décrit par : A) q =q0 cos ((g/L)½t) ; B) q =q0 sin ((g/L)½t) ; C) q =q0 sin ((mg/L)½t) ; D) aucune des 3 réponses précédentes. w0= (g/L)½ ; q =q0 cos (w0 t); à l'instant t=0 q(t=0) =q0 donc q =q0 cos (w0 t) ;donc A.
43) La période des oscillations du pendule est : A) T = 2 p(g/L)½ ; B) T = 2 p(L/g)½ ; C) T = (L/g)½ ; D) aucune des 3 réponses précédentes. T = 2p/ w0 = 2 p(L/g)½ ;donc B.
Partie B : Système masse-ressort On considère le système suivant :
Sur
un plan incliné, une masse m est fixée à l’extrémité d’un ressort,
lui-même fixé par son autre extrémité à un mur fixe. Le plan incliné
est équipé d’un banc à coussins d’air, de sorte que les frottements peuvent être négligés. Le ressort est à spires non jointives, a une longueur à vide L0 et une constante de raideur k. On considèrera que le ressort est sans masse. On repère la position de la masse par la projection de son centre de gravité sur un axe (Ox), parallèle au plan incliné. À partir de la position d’équilibre O prise comme origine, on écarte la masse d’une longueur x0 > 0 et on la lâche sans vitesse initiale à l’instant t = 0. 44) On note L la longueur du ressort à l’équilibre. On a : A) mg sin a = kL ; B) mg cos a = kL ; C) mg sin a = k(L-L0) ; D) mg cos a = k(L-L0).
donc C.
On note x'= dx/dt et x" = d2x/dt2. 45) On a l’équation différentielle : A) mx"+kx=0 ; B) mx"+k(L+x-L0) + mg sin a =0 ; C) mx"+k(x-L0) - mg sin a =0 ; D) aucune des 3 relations précédentes. Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Ox : mg sin a -k(L+x-L0) =mx" avec mg sin a = k(L-L0). Par suite -kx = mx" ou mx" +kx=0, donc A.
46) On considère l’énergie totale du système masse-ressort. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit : A) ½k(L+x-L0)2 +½mx'2 -mgx sin a = constante. B) ½k(x-L0)2 +½mx'2 -mgx sin a = constante. C) ½k(L+x-L0)2 +½mx'2 +mgx sin a = constante. D) aucune des 3 relations précédentes. L'origine de l'énergie potentielle est prise à la position d'équilibre : ½kx2 +½mx'2= constante avec x >0. Donc A. Or mg sin a = k(L-L0). A) s'écrit : ½k(L+x-L0)2 +½mx'2 -k(L-L0)x= constante. avec ½k(L+x-L0)2 -k(L-L0)x=½k(L-L0)2 +½kx2 . A) s'écrit :½k(L-L0)2 +½kx2+½mx'2 = constante ou ½kx2+½mx'2 = autre constante.
47) En dérivant la relation de conservation de l’énergie mécanique, on obtient : A) kx'(L+x-L0) +½mx'x"-mgx'sin a=0 ; B) kx'(L+x-L0) +mx'x"-mgx'sin a=0 vrai ; C) kx'(L+x-L0) +½mx"-mgsin a=0 ; D) aucune des 3 réponses précédentes.
48) On a alors l’équation différentielle : A) k(L+x-L0) +mx"-mg sin a=0 vrai ; B) k(L+x) +mx"-mg sin a=0 ; C) kx +mx"-mg sin a=0 ; D) aucune des 3 réponses précédentes. ou bien½k(2xx')+½m(2x'x") = 0 ; kx+mx"=0 ; x"+k/mx=0 , on pose w0= (k/m)½.
49) Le mouvement est alors décrit par : A) x(t) =x0 cos ((k/m)½t) ; B) x(t) =x0 sin ((k/m)½t); C) x(t) =x0 sin ((k/(msin a))½t) ; D) aucune des 3 réponses précédentes. w0= (k/m)½ ; x(t) =x0 cos (w0 t); à l'instant t=0 x(t=0) =x0 donc x(t) =x0 cos ((k/m)½t) ;donc A.
50) La période des oscillations du pendule est : A) T = 2 p(k/m)½ ; B) T = (m/k)½ ; C) T = (m sina/k)½ ; D) aucune des 3 réponses précédentes. T = 2p/ w0 = 2 p(m/k)½ ;donc D.
Partie C : Oscillations dans un circuit LC On considère le circuit électrique suivant : La
bobine est idéale : elle a une inductance L et sa résistance est nulle.
On note C la capacité du condensateur. Le condensateur a été
préalablement chargé et à l’instant t = 0 on ferme l’interrupteur K. On
étudie les échanges d’énergie entre le condensateur et la bobine. q
désigne la charge de l’armature du condensateur reliée à l’interrupteur
K. 51) On a la relation : A) i(t) = -dq/dt ; B) i(t) = Cdq/dt ; (t) = dq/dt vrai ; D) i(t) = -Cdq/dt. La flèche symbolisant l'intensité pointe sur l'armature du condensateur portant la charge q. 52) On a la relation : A) uAK = 1/Ldi/dt ; B) uAK = Ldi/dt vrai ; uAK = -Ldi/dt ; D) aucune des 3 réponses précédentes.
53) On a l’équation différentielle : A) Ld2q/dt2 +q/C=0 vrai ; B) Ld2q/dt2 -q/C=0 ; C) Ld2q/dt2 +Cq=0 ; D) aucune des 3 réponses précédentes. Additivité des tensions : Ldi/dt + uC = 0 ; di/dt = d2q/dt2 ; uC =q/C ; d'où Ld2q/dt2 +q/C=0.
54) On peut affirmer : A) on a un régime pseudo-périodique d’oscillations amorties dont la pseudo-période propre est T = 2p(LC)½. Le régime est périodique car la résistance de la bobine est négligeable. B) la tension aux bornes du condensateur peut s’écrire uKA =Um cos (2p/(LC)½ t +j0). w0 =1/(LC)½ ; uKA =Um cos (1/(LC)½ t +j0). C) la tension aux bornes du condensateur peut s’écrire uKA =Um cos ((LC)½ t +j0). D) aucune des 3 réponses précédentes. Donc D.
55) D’un point de vue énergétique, on a : A) ½Li2(t) = constante ; B) ½Li2(t) +1/(2C)u2KA(t)= constante ; C) ½Li2(t) +½Cu2KA(t)= constante vrai ; D) aucune des 3 réponses précédentes.
56) En dérivant la conservation de l’énergie, on obtient : ½L(2 i di/dt) +½C(2uKA duKA/dt) =0 ; doncA.
57) On a la relation : A) i(t) =CduAK/dt ; B) i(t) =CduKA/dt ; C) i(t) =1/CduAK/dt ; D) i(t) =1/CduKA/dt. i(t) = dq/dt avec q = CuKA ; i(t) =CduKA/dt donc B.
58)
En reportant la relation de la question précédente dans l’égalité
obtenue en dérivant la conservation de l’énergie, on obtient après
simplification : A) Cdi/dt +LuKA(t) =0 ; B) Ldi/dt +uAK(t) =0 ; C) L/Cdi/dt +uKA(t) =0 ; D) Ldi/dt +uKA(t) =0. L i di/dt +CuKA duKA/dt) =0 s'écrit : LCduKA/dt di/dt +CuKA duKA/dt =0 Ldi/dt +uKA =0, donc D. Partie D : Analogies 59) Les fréquences des oscillations des systèmes étudiés dans les parties A, B et C sont respectivement : TA = 2p/ w0 = 2 p(L/g)½ ;fA =1/TA =1/( 2 p)(g/L)½ ; TB = 2 p(m/k)½ ; fA =1/TB =1/( 2 p)(k/m)½ ; w0 =1/(LC)½ ; fC = w0 /(2p) =1/(2p)(LC)½). Donc D.
60) Pour les 3 systèmes, les oscillations sont : A) amorties, le régime est pseudo-périodique B) très amorties, le régime est apériodique C) non amorties, le régime est périodique vrai ; D) aucune des 3 réponses précédentes
Donc 
donc 
