QCM mécanique, électrostatique : capes 2007 Tunisie. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

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Oscillateur mécanique faiblement amorti. L'oscillateur est constitué d'un solide  de masse m et d'un ressort de raideur k. x(t) = A exp(-µ / (2m) t ) cos (Wt+ j). A et f sont des constantes ; µ : coefficient de frottement ; W : pseudopulsation du mouvement ; w0 : pulsation propre de l'oscillateur. Quelle est la pseudopulsation du mouvement ? Analyse : Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu. On note f = -m v la force de frottement fluide, où m est une constante et v le vecteur vitesse de la masse en translation. Ecrire la seconde loi de newton sur un axe horizontal, orienté de gauche à droite ; l'origine de l'axe est la position d'équilibre stable du système masse ressort. mg-kx-mv= m d²x/dt² ; m d²x/dt² +mv + k x=0 avec v = dx/dt = x' ; m d²x/dt² +mx' + k x=0 (1) (1 ) peut s'écrire : d²x/dt² +m/ m x' + k/ m x=0. or w20 = k/m et on pose 2l= m /m ; d'où : d²x/dt² +2l x' + w20 x=0 (2) équation caractéristique r2+2l r + w20 =0 ; discriminant D = 4l2-4w20. On pose W2 =w20 -l2; W = [w20 -l2]½ = [w20 -µ2/ (4 m2)]½ . La  pseudopériode est la proposition n° 4. Décrément logarithmique de l'oscillateur précédent : Quel est le décrément logarithmique ?   T : pseudopériode ; T0 : période propre. Analyse : On appelle décrément logarithmique la grandeur sans dimension d = ln (x(t) / x(t+T)], où T désigne la pseudo-période. x(t) = A exp(-µ / (2m) t ) cos (Wt+ j). x(t+T) = A exp(-µ / (2m) (t+T) ) cos (W(t+T)+ j)=A exp(-µ / (2m) (t+T) ) cos (Wt+ j). x(t) / x(t+T) = exp(-µ / (2m) t )  / exp(-µ / (2m) (t+T) ) = exp(µ / (2m) T) . d =µ / (2m) T. ( proposition n°3 )   Bobine inductive  parcourue par un courant variable i de sa borne A vers sa borne B: Quel est la tension à ses borens ( convention récepteur ) ? r : résistance de la bobine ; L : inductance de la bobine. ( proposition n°2 ) Dipôle RLC alimenté par une tension u(t) = Um sin (wt+j) : A la résonance d'intensité, la tension u(t) est : en phase avec uc(t) ; en retard de phase par rapport à i(t) ; en quadrature avance par rapport à uc(t) ; en quadrature retard par rapport à uc(t). Oscillations entretenues d'un oscillateur RLC : On utilise un montage à résistance négative. Les oscillations sont quasi-sinusoïdales de fréquence N. ( N0 : fréquence propre de l'oscillateur ). Que vaut N ? Le dispositif à résistance négative compense à chaque instant l'énergie perdue par effet Joule dans le dipôle. ( proposition n°3 )   Choc élastique : Deux particules sont animées de vitesses initiales v1 et v2, avec v1 différent de v2. Après  le choc les vitesses sont v'1 et v'2, le coefficient de restitution est e =(v'2-  v'1 ) / ( v2-v1 ). Le choc est parfaitement élastique si : e=0 ; e >0 ; e = 1 ;  e est compris entre 0 et 1, bornes comprises. Dans un choc élastique, l'énergie cinétique se conserve : e = 1. Transformation de Lorentz : On considère deux référentiels R et R' en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, à la vitesse u parallèle à l'axe Ox. Les orignes O et O' coïncident à l'origine des temps. Une tige rigide, au repos, de longueur l0 dans le référentiel R' est disposée parallèlement à l'axe Ox. Quelle est la longueur de la tige dans le référentiel R ? ( proposition n°3 ). Potentiel électrostatique. Soit une distribution de charges S répartie avec une charge volumique r uniforme, dans un fil cylindrique de rayon R. En coordonnées cylindriques, en un poitnt M situé à la distance r de l'axe de ce fil ( r >> R et r << L, longueur du fil), l'expression du potentiel électrostatique est : Analyse : flux de E à travers S. En tout point de la surface latérale S, par raison de symètrie, le champ est radial et a même module. Le flux de ce vecteur à travers la surface latérale de longueur h est E 2pxh. En tout point de S1 ou S2 le vecteur E est normale au vecteur surface : le flux de E est nul à travers les 2 bases. charge intérieure au cylindre S de rayon x : x < R : Q=px²hr ; x >= R : Q=pR²hr. th de Gauss : E 2pxh = Q/e0. x < R : E= xr / (2e0) ; x >= R : E= R²r / (2e0x) potentiel électrique si x > R : V = -R²r / (2e0) ln(x) + Cte. ( proposition n°1 ). Champ électrique créé par une sphère. La sphère, de rayon R, est uniformément chargée de densité volumique r. L'expression du champ électrostatique en un point M, extérieur à la sphère, est : Analyse : Par raison de symétrie, le champ est radial. champ électrique :(point extérieur) flux envoyé à travers la sphère S de rayon r : définition du flux : F= 4pr2E th. de gauss : charge intérieure à S= charge de S =4/3 pR3r. F= 4/(3e0) pR3r E = R3r/(3e0r2). ( proposition n°1 ). Deux charges identiques +Q sont distantes de "2a". Une charge +q0 se situe sur la médiatrice  du segment joignant les deux charges +Q. Quelle est la valeur de la force ressentie par la charge +q0 ? Analyse : ( proposition n°2 ). Un condensateur, chargé initialement sous une tension Ui, visant une tension Uf, atteindra une tension U0 au bout d'une durée Dt  dont l'expression est : ( t = RC, constante de temps ). Analyse : u(t) = Uf  - (Uf  - Ui ) exp (-t/t). u(Dt) =U0 =Uf  - (Uf  - Ui ) exp (-Dt/t). (Uf  - Ui ) exp (-Dt/t) = Uf  - U0  ; exp (-Dt/t) = ( Uf  - U0) / (Uf  - Ui) ; -Dt/t =ln [( Uf  - U0) / (Uf  - Ui)] ; Dt = t ln[ (Uf  - Ui) / ( Uf  - U0) ] ( proposition n°1 ). Soit un condensateur sphérique constitué par deux armatures concentriques de rayons R1 et R2, se trouvant aux potentiels V1 et V2 et portant les charges +Q et -Q. La capacité du condensateur est  : Analyse : Th. de gauss: calcul du champ puis du potentiel flux du champ à travers la sphère S de rayon x : E 4px²= Q/e0. E= Q/(4pe0 x²) E=-dV/dx, puisque E ne dépend que de x dV=Q/((4pe0 ) *dx/x² intégrer entre R1 et R2. V2-V1=Q/((4pe0 ) [1/R2- 1/R1] capacité = Q/(V2-V1) C= 4pe0 R1R2/(R2-R1) ; ( proposition n°1 ).

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