Aurélie 20/04/10
 

 

 Oscillateur électrique ( RLC) : concours kiné Berck 2010.

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On réalise le circuit ci-dessus, composé :
- d'un condensateur de capacité C =2,00 µF ;
- d'une bobine d'inductance L = 250 mH et de résistance négligeable ;
- d'un conducteur ohmique de résistance R variable ;
 - d'un générateur idéal de tension de fem E = 25,0 V
- d'un interrupteur K à deux positions ;
- d'un capteur voltmètre relié à un ordinateur.
Etape n°1 : l'interrupteur K est en position 1 pendant le temps nécessaire pour que le condensateur se charge complètement.
Etape n°2 : on bascule l'interupteur K en position 2. Le circuit est le siège d'oscillations libres amorties.
Le capteur voltmètre permet d'enregistrer les variations de la tension uC aux bornes du condensateur en fonction du temps.
On notera T la pseudo-période des oscillations électriques amorties.
On admettra que la résistance R est suffisamment faible pour que l'on puisse confondre la pseudo-période T et la période propre T0 des oscillations du circuit LC correspondant.
A la date t=T, la tension aux bornes du condensateur vaut uC(T) = 19,7 V.


Quelques formules permettant de caractériser un régime pseudo-périodique  :
On montre que pour des dates t = kT ( avec k entier ), la tension uC se calcule par la relation :
uC(kT) = E exp(-kRT / (2L))
On définit le décrément logarithmique par la relation  : d = ln (uC(kT) / uC((k+1)T))
Le facteur de qualité d'un régime pseudo-périodique se calcule par la relation : Q  =  pi / d.  

Calculer la valeur de la pseudo-période T ( en ms).
T ~T0 = 2pi (LC)½ =6,28 (0,250 *2,00 10-6)½ =4,44 10-3 s = 4,44 ms.
Déterminer la résistance R du conducteur ohmique.
uC(T) = E exp(-RT / (2L)) = 19,7 ; ln (25/19,7) =0,2383 = RT / (2L)
R = 0,2383*2L / T = 0;2383*2*0,25 / 4,44 10-3 =28,6 ohms.
Calculer l'énergie perdue par effet Joule ( en µJ) au bout des 5 premières périodes.
Energie initiale stockée par le condensateur : ½CE2 = 0,5*2,00 10-6 *252 = 625 10-6 J = 625 µJ.
uC(5T) = E exp(-5RT / (2L)) = 25 exp(-5*28,6*4,44 10-3 / 0,5) =7,02 V.
Energie finale  ( t = 5 T) stockée par le condensateur :  0,5*2,00 10-6 *7,022 = 49,3 10-6 J = 49,3 µJ.
Energie perdue par effet Joule : 625-49,3 =575,7 ~576 µJ.
Calculer le facteur de qualité Q0 ( sans unité ) du circuit.
d0 = ln( uC(kT) / uC((k+1)T) )=  ln( uC(0) /  uC(T) )= ln (25 / 19,7 )= 0,238.
Q0 = 3,14 / 0,238 = 13,2.
On veut que le facteur de qualité soit divisé par 2.
Quelle doit être la valeur de R ( en ohms) ?
ln (uC(0) / uC(T) )=2d0 = 0,4765 ; ln(25/ uC(T)) =0,4765 ; uC(T) =25 /1,61 =15,5 V.
uC(T) = E exp(-RT / (2L)) = 15,5 ; ln (25/15,5) =1,613 = RT / (2L)
R = 1,613*2L / T = 1,613*2*0,25 / 4,44 10-3 =182 ohms.


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