Aurélie 18/05/10
 

 

Isotope du chlore, bille de flipper, circuit RLC : concours orthoptiste université d'Auvergne 2007.
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Isotopes du chlore.
A l'état naturel le chlore compte 3 isotopes. Deux sont stables : le cl-35 et le Cl-37. Le Cl-36 est radioactif et possède une demi-vie de 301 000 ans.
Qu'est-ce qu'un isotope ? Que signifient les nombres 35, 36 et 37 ?
Deux isotopes ne se différencient que par leur nombre de neutrons. Ils ont le même numéro atomique.
35, 36 et 37 représentent respectivement le nombre de nucléons des isotopes 35Cl, 36Cl et 37Cl.
Sachant que le numéro atomique du chlore est Z = 17, donner le symbole complet du noyau de Cl-36 ainsi que sa composition.
3617Cl : 17 protons et 36-17 = 19 neutrons.
Le chlore 36 se désintègre en argon 36. Le numéro atomique de l'argon 36 est égal à 18.
Ecrire l'équation de la désintégration et donner le type d'émission radioactive obtenue.
3617Cl --> 3618Ar + AZX.
Conservation du nombre de nucléons : 36 = 36 +A soit A = 0 ;
conservation de la charge : 17 = 18 + Z soit Z = -1.
3617Cl --> 3618Ar + 0-1e. (radioactivité de type ß- )


 Soit une bouteille d'eau minérale de 1,5 L. Le nombre de noyaux de Cl-36 présents dans l'eau est égal à N = 2,4 108.
Quelle est l'activité en Cl-36 de l'eau que contient cette bouteille ?
demi-vie t½ = 301 000 *365*24*3600 = 9,49 1012 s.
Constante radioactive l = ln2 / t½= ln2 / 9,49 1012 =7,30 10-14 s-1.
Activité A = l N =7,30 10-14 * 2,4 108= 1,75 10-5 Bq.
En déduire le nombre  de désintégrations de noyaux de Cl-36 par jour.
1,75 10-5 *24*3600 =1,5.
 

On veut dater une nappe d'eau souterraine à l'aide du chlore 36. On admet que le nombre de noyaux de chlore 36 présents à l'instant t=0 de la constitution de la nappe est égal au nombre de noyaux de chlore 36 présents dans un même volume d'eau de surface. Aujourd'hui l'eau ( non renouvelée ) de la nappe d'eau souterraine ne contient plus que 38 % du nombre de noyaux de chlore 36 trouvés dans les eaux de surface.
Déterminer en années, l'âge de la nappe d'eau souterraine.
Loi de décroissance radioactive : N = N0 exp(-lt) ; ln ( N0 /N ) = lt ; t =ln ( N0 /N ) / l  avec ln ( N0 /N )= ln (1/0,38) =0,9676
et l = ln2 / 301 000 =2,3 10-6 an-1 ;  t = 0,9676 / 2,3 10-6 =4,2 105 ans.
Le carbone 14 a une demi-vie de 5570 ans.
Pourquoi ne l'a-t-on pas utilisé pour réaliser cette datation ?
Au delà de 7 à 8 demi-vie ( ~ 40 000 ans) , il ne  reste pas suffisamment de carbone 14 pour que la méthode de datation soit précise.

Jeu de flipper.
Un jeu de flipper est composé d'un plateau, d'un lance-billes, d'une bille et de flippers proprement dits ( petits leviers actionnés mécaniquement pour renvoyer la bille). Les premiers flippers n'avaient pas de "flippers". Le problème concerne un flipper élémentaire comprenant :
- le plateau carré de 50 cm de côté, incliné de 15° par rapport à l'horizontale,
- le lance-bille, ressort terminé par deux rondelles, l'une sur laquelle repose la bille, l'autre sur laquelle le joueur tire. La masse du lance-bille est négligeable et on néglige les frottements. La constante de raideur du ressort est k = 100 N m-1,
- la bille, de masse m = 50 g, placée au contact de la rondelle supérieure.
Le joueur tire lentement sur la rondelle inférieure du lance-bille ( de manière à garder la bille en contact de la languette supérieure ), et racourci le ressort de 5 cm. Il lâche alors brusquement la rondelle inférieure et la bille roule selon la ligne de plus grande pente du plateau. On néglige le frottement de la bille sur le plateau et on prend pour origine O, le point où se trouvait la bille au moment où elle quitte le ressort du lanceur, définissant ainsi la " ligne de lâcher".
Faire un schéma du flipper en vue de dessus, en définissant le repère orthogonal composé de l'axe de la trajectoire de la bille ( axe des y) et de la ligne de "lâcher" ( axe des x).


Calculer la distance maximale parcourue par la bille selon la ligne de plus grande pente, avant de redescendre.
Système : bille + lanceur ; l'origine des énergies potentielles est prise en O.
Initialement, date du lâcher, l'énergie mécanique est sous forme potentielle EM = ½ky2 + mgz avec y = 0,05 m et z = -  y sin 15.
Au point le plus haut, la vitesse est nulle, l'énergie mécanique est sous forme potentielle de pesanteur : EM = mg ymax sin 15.
Au passage sur la ligne du lâcher en O, l'énergie mécanique est sous forme cinétique : EM = ½mv2.
En absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve : ½ky2 - mg y sin 15 =mg ymax sin 15.
ymax = ½ky2 / (mg sin 15)- y =0,5*100*0,052 / (0,05*9,8*sin15) -0,05 =0,94 m.
En fait après que la bille  ait parcouru 40 cm ( distance mesurée entre l'origine du repère et le centre d'inertie de la bille ), elle rencontre un obstacle correspondant à l'hypothénuse d'un triangle rectangle isocèle placé dans le coin supérieur de façon à ce que sa vitesse devienne horizontale sans changer de valeur.
Ecrire l'équation de la trajectoire de la bille dans le repère Oxy.

Calcul de v0 : ½ky2 - mg y sin 15 =½mv02 + mg d sin 15 avec d = 0,40 m.
0,5*100*0,052 - 0,05*9,8*0,05 sin 15 = 0,5*0,05 v02 +0,05*0,40*9,8 sin 15
0,1186 = 0,025 v02 +0,051 ; v02 =2,71 ; v0 = 1,65 ~1,6 m/s.
y = -0,5 *9,8 *sin 15 / 2,71 x2+0,4.
y = -0,468 x2+0,4.
Calculer la distance de l'origine à laquelle se trouve la bille lorsqu'elle repasse la ligne de lâcher.
y =0 = -0,468 x2+0,4 ; x2 = 0,4/0,468 =0,855 ; x = 0,92 m.

Circuit RLC.

C = 0,2 µF ; L = 5 mH. La valeur de la résistance r peut varier. Soit q(t) la charge du condensateur à l'instant t. A l(instant t=0, K est fermé alors que le condensateur est porteur d'une charge q(0) non nulle.
Donner la relation entre la tension uAB(t) et la charge q(t) ; donner la relation entre q(t) et i(t) ; en dduire la relation liant uAB(t) et i(t).
q(t) = C uBA(t) ; q(t) = -C uAB(t) ; i(t) = dq(t) /dt = -CduAB(t) /dt.
Donner la relation entre uBD(t) et i(t) ; en déduire la realtion entre uBD(t) et q(t). déduire l'équation différentielle à laquelle obéit q(t).
uDB(t) = Ldi/dt + ri ; uBD(t) = -Ldi/dt - ri  avec i = dq(t)/dt et di(t)/dt = d2q(t) / dt2.
uBD(t) =-Ld2q(t) / dt2-rdq(t)/dt.
Additivité des tensions : uAB(t) + uBD(t) +uDA(t) =0.
la tension aux bornes d'un interrupteur fermé est nulle : uDA(t).
-q / C -Ld2q(t) / dt2-rdq(t)/dt = 0 ; q / C +Ld2q(t) / dt2+ rdq(t)/dt = 0
d2q(t) / dt2 + 1/(LC) q(t) +r/L dq(t)/dt = 0.Lorsque r=0, quelle est la fréquence propre  des oscillations du circuit ?
f = 1/(2p (LC)½) = 1/(6,28*(5 10-3*2 10-7)½) =5,0 103 Hz.
 On note T la période associée à la fréquence propre du circuit.
Comment se fait la répartition des énergies dans le circuit aux dates t =T et t= 1,5 T ?
La solution de l'équation différentielle ( si r = 0) est de la forme q(t) = q(0) cos ( 2pft).
A la date t=T, q(T) = q(0) cos(2 p ) =q(0) ;  le condensateur est chargé et stocke toute l'énergie du circuit ; la bobine ne stocke pas d'énergie.
A la date t = 1,5 T, q(1,5T) = q(0) cos p  = -q(0) ; le condensateur stocke toute l'énergie du circuit.
Si maintenant r est non nulle, pourquoi faut-il apporter de l'énergie au circuit si l'on veut que les oscillations se poursuivent indéfiniment ?
Lors des échanges d'énergie entre bobine et condensateur, une partie de l'énergie du circuit se dissipe  par effet Joule.





On introduit dans le circuit un générateur de tension uAD= - ki ( k constante positive ).

A quelle loi obéit la charge q du condensateur ?
Additivité des tensions : uBA(t) + uAD(t) +uDB(t) =0.
q/C -ki(t) +Ldi(t)/dt +r i(t) =0
 i = dq(t)/dt ; di(t) /dt = d2q(t) / dt2.
q/C +(r-k)dq(t)/dt +Ld2q(t) / dt2= 0
A quelle condition peut-il y avoir établissement d'oscillations permanentes ?
Si r = k, l'équation différentielle s'écrit : q/C +Ld2q(t) / dt2= 0.
q(t) est sinusoïdale périodique.





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