Cinématique,
équilibre d'un solide, circuit RLC, modèle de Thévenin :
concours filière machine marine marchande 2010.
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Cinématique.
Un
mobile est animé d'un mouvement rectiligne sur un axe Ox. A l'instant
t=0 s le mobile se situe en O, sa vitesse initiale est 5 m/s et son
accélération 2 m s-2. A l'instant t = 40 s l'accélération
s'annule. L'accélération devient égale à -4 m s-2 à
l'instant t = 60 s. Déterminer la
position du mobile à t = 40 s et à t = 60 s. Entre t = 0
et t = 40 s, le mouvement est uniformément accéléré.
a = 2 m
s-2. La vitesse est une primitive de l'accélération : v = at
+ v0 ; v = 2 t + 5.
La position est une primitive de la vitesse : x (t)= ½at2 + v0t
+x0 ; x = t2 +5 t.
x(t = 40) = 402 +5*40 =1800 m.
L'accélération est nulle entre t = 40 et t = 60 s : le mouvement est
rectiligne uniforme à la vitesse v = 2*40+5 = 85 m/s.
En 20 s on parcourt : 85*20 = 1700 m et x(t=60) = 1700+1800 = 3500 m. Autre méthode : x(t) = v( t=40)
(t-40) = 85(t-40) ; x(t=60) = 85*20.
Déterminer la
position du mobile quand la vitesse s'annule. Phase 3 : a = -
4 m s-2 ; vitesse initiale v(t=40) = v(t=60) = 85 m/s ;
position initiale x(t=0) = 3500 m.
v = a(t-60)+ v(t=60) = -4(t-60) + 85.
La vitesse s'annulle à la date : -4(t-60)
+ 85 = 0 ; t = 60 +85/4 = 81,25
s. Déterminer le temps
t pour que le mobile repasse par le point O.
x(t) = ½(-4) (t-60)2 + 85(t-60)
+3500. On pose T =t-60.
0 = -2T2 +85T +3500 ;
D =852
+4*2*3500 =35225 ; D½ =187,68 ; T =
(-85 -187,68) / (-4) =68,17 s ; t = 60+68,17 = 128 ,2 s.
Equilibre d'un solide ( 5 pts ). Une masse de 500 kg est suspendue au dessus du sol à une hauteur h= 15 m. Prendre g = 10 m s-2.
Déterminer les tensions des câbles BC et AB. Tension du câble BC :
T = 500*10 = 5000 = 5,0 103 N.
Tension du câble AB : le point B est soumis à :
Déterminer la vitesse d'impact de la masse M sur le sol si le câble BC se rompt.
La masse M est en chute libre : v= (2gh)½ =(20*15)½ =17,3 ~17 m s-1.
Circuit RLC
( 5 pts ) Un circuit RLC est composé d'une résistance de R =10 ohms, d'une bobine d'impédance ZL=14 ohms et d'un condensateur d'impédance ZC=24 ohms. Le circuit est traversé par un courant sinusoïdal de valeur efficace 5 A et de fréquence 50 Hz.
Calculer
l'impédance du circuit. Déduire la tension efficace aux bornes du circuit.
U = Z I = 14,14*5 = 70,7 ~ 71 V. Calculer le facteur de puissance du circuit.
cos j = R / Z = 10/14,14 =0,707 ~0,71. Calculer la valeur de l'inductance L et de la capacité C du circuit.
ZL = Lw avec w = 100*3,14 = 314 rad/s.
L = ZL /w = 14 / 314 = 0,0446 H = 44,6 mH ~45 mH. ZC =1 / ( Cw ) ; C = 1/ (ZC w ) = 1 / (24*314) =1,3 10-4 F. Déterminer la puissance active du circuit.
La puissance active est consommée dans la résistance R : RI2 = 10*52 =250 = 2,5 102 W.
Générateur de Thévenin. Déterminer le générateur de Thévenin équivalent au dipôle AB.
E0, générateur de tension idéal, impose le sens du courant : E1 et E2 fonctionnent en récepteurs.
Générateur de Thévenin : E0 = 24 V et r = 0 ohm.
On branche aux bornes de ce dipôle 3 lampes en série de résistance r = 4 ohms chacune. Calculer
la tension aux bornes de chaque lampe et le courant qui les parcourt. La tension UAB vaut E0 = 24 V.
Les résistances en série s'ajoutent : la résistance totale des 3 lampes
est 12 ohms et l'intensité du courant dans les lampes est :
I = 24/12 = 2 A.
Tension aux bornes de chaque lampe : r I = 4*2 = 8 V.
On branche aux bornes de ce dipôle 3 lampes en dérivation de résistance r = 4 ohms chacune. Calculer
la tension aux bornes de chaque lampe et le courant qui les parcourt. La tension aux bornes de chaque lampe est identique, égale à 24 V.
L'intensité du courant est la même dans chaque lampe et vaut : 24/4 = 6 A.
