Trajectoire d'une balle de
golf :
concours Eni-Geipi-Polytech 2010.
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Dans
un magazine spécialisé, les performances de clubs de golf sont
présentées. Ces clubs sont numérotés suivant l’inclinaison de la face
avec la verticale, appelée « loft », c’est un angle mesuré en degré,
repéré par la lettre α. La longueur du manche, le shaft est d’autant
plus long que le loft est petit. Ainsi un club dénommé fer 5 présente un loft de 25 ° et est annoncé pour avoir une portée xM
de 150 m sur terrain plat lorsqu’il est utilisé par un joueur considéré
comme frappeur moyen. La vitesse communiquée à la balle de golf de
masse 46 g lors de la frappe du club est notée v0. On
néglige tous les frottements, ainsi que les phénomènes de portance de
l’air et ceux liés à la surface alvéolaire de la balle de golf. Le référentiel terrestre est supposé galiléen et on prendra l’intensité du champ de pesanteur g = 9,81 m s-2. La
trajectoire de la balle est décrite dans un repère (0, j ,i) dont
l’origine est prise à la position de la balle avant la frappe,
l’origine des temps t = 0 est choisie à l’instant de l’impact du club. A quelle(s) force(s) est soumise la balle de golf au cours de sa trajectoire ? On
néglige tous les frottements, ainsi que les phénomènes de portance de
l’air et ceux liés à la surface alvéolaire de la balle de golf. la balle n'est soumise qu'à son poids.
Donner les composantes ax et ay du vecteur accélération puis déduisez en celles du vecteur vitesse vx et vy de la balle au cours de sa trajectoire. Etablir
les équations horaires littérales x(t) et y(t) du mouvement de la
balle. Quelle est l’équation de la trajectoire de la balle ? Quelle en
est la forme ?
La trajectoire est une parabole. Quelle est l’expression de la vitesse initiale v0 en fonction de la distance xM parcourue par la balle. Réaliser l’application numérique et donner le résultat avec 3 chiffres significatifs. yM = 0 = -0,5 gt2 + v0 sin a t ; -0,5 g t +v0 sin a = 0 ; t = 2v0 sin a / g. xM= v0 cos a t =2 v20 cos a sin a / g = v20 sin ( 2a) / g. v20 = g xM / sin ( 2a) ; v0 = [g xM / sin ( 2a)]½. v0 = [9,81*150 / sin ( 50)]½ = 43,8 m/s.
La
balle de golf repose maintenant au fond d’un obstacle dénommé bunker,
constitué d’un bac de sable de profondeur h = 1,60 m. La balle est à la
distance d = 1,25 m de la lèvre du bunker, comme l’indique la figure
ci-dessous. Afin de passer l’obstacle, le joueur choisit un « lob wedge
» de 60° de loft et il communique à la balle une faible vitesse
initiale v'0= 10 m.s-1, la balle atterrit à la distance D du bord du bunker.
Ecrire
l’équation à laquelle répond la distance D en fonction des valeurs des
différents paramètres du problème, valeur du loft, h, d, g et v'0. Calculer la valeur numérique de D et donner le résultat avec 3 chiffres significatifs. La trajectoire de la balle est une parabole d'équation : y =-0,5 g x2 / (v'02 cos 60) + x tan 60. La balle atteint le point dabscisse x= d+D et d'ordonnée y = h. h = -0,5 g (d+D)2 / (v'02 cos2 60) + (d+D) tan 60. h = -0,5 g (d2 +D2+2dD) / (v'02 cos2 60) + d tan 60 +D tan60. -0,5 g / (v'02 cos2 60) D2 +(-gd / (v'02 cos2 60) + tan60 ) D - 0,5 g d2/ (v'02 cos2 60) + d tan 60-h = 0. -0,5*9,81 / (100cos2 60) D2 +(-9,81*1,25 / (100cos2 60) +tan60) D -0,5*9,81*1,252 / (100cos2 60)+1,25 tan60 -1,60 = 0. -0,1962 D2 +(-0,4905 +1,732) D -0,30656 +2,165 -1,60 = 0. -0,1962 D2 + 1,2415 D +0,25844 = 0. D2 -6,3277 D -1,3193=0 D =40,04 +5,277 =45,317 ; D½ =6,732. D = (6,3277 + 6,732) / 2 =6,53 m.
Un bon joueur de golf peut donner à une balle de masse 46 g une vitesse initiale v0 de 200 km.h-1 avec une vitesse vc du club à l’impact de 150 km.h-1. Evaluer l’énergie cinétique Ec acquise par la balle de golf juste après l’impact. Ec = ½mv02 ave m = 0,046 g et v0 =200 / 3,6 =55,6 m/s. Ec = 0,5*0,046*(200/3,6)2 = 70,98 ~71,0 J. On considère que cette énergie est acquise pendant la durée τ = 0,5 ms du contact entre le club et la balle. Calculer la puissance Pc correspondante. Pc = Ec / t = 71,0 / 0,5 10-3= 1,42 103 W.
