Interférences, miroir de Lloyd, concours inspecteur  répression des fraudes 2009.

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On place une source ponctuelle S monochromatique de longueur d’onde l  à une distance e d’un miroir plan. Données : e = 0,50 mm ; f' = 1,00 m ; l = 0,60 µm. Placer l’image S’ de S donnée par le miroir. L'image S' est symétrique de S par rapport au plan du miroir. On place une lentille convergente de distance focale f’ comme indiqué sur la figure et un écran dans le plan focal image de la lentille. Tracer les deux rayons issus de S et de S’ qui arrivent en un point M de l’écran de cote OM=x comptée à partir du plan contenant le miroir.   Les deux rayons interfèrent-ils ? Justifier. La lumière réfléchie semble provenir de S', image de S par le miroir plan, symétrique de S par rapport au plan du miroir. Sur l'écran il se forme des interférences entre le faisceau issu directement de S et le faisceau réfléchi par le miroir. C'est un dispositif à division de front d’onde. Les sources S et S' sont cohérentes mais pas synchrones : la réflexion introduit un déphasage de p. Les sources sont en opposition de phase. Exprimer la différence de marche d entre les deux rayons. Différence de marche géométrique : 2 q x avec tan q ~ q ~ e /  f'. Tenir compte du phénomène de réflexion qui introduit une différence de ½l. d = 2 e x/f' + ½l. En déduire le déphasage j  entre les deux ondes puis l’ordre d’interférence p au point M sachant que la réflexion introduit un déphasage supplémentaire égal à p. Le déphasage est égal à : j = 2p/l d = 4p e x/  ( l  f' ) + p. Ordre d'interférence p = d / l =  2 e x/ (f' l) + 0,5.   On observe des franges rectilignes sur l’écran, parallèles au plan du miroir. Exprimer puis calculer l'interfrange i. ordre  1 :  1 = 2 e x1/ (f' l) + 0,5 ; x1 = 0,25 f' l / e ; ordre  2 :  2 = 2 e x2/ (f' l) + 0,5 ; x2 = 0,75 f' l / e ;  i = x2 - x1 = f' l / (2e). i = 1,0 * 0,60 10-6 / 10-3 =6,0 10-4 m. Soit a l’amplitude de l’onde incidente sur le miroir ; l’amplitude de l’onde réfléchie s’écrit alors : ra. Dans cette expression  r est une constante réelle positive inférieure à l’unité. Montrer qu’on peut écrire l’amplitude complexe de l’onde résultante en M sous la forme : Nombre complexe associé à l'onde incidente A1 = a ; Nombre complexe associé à l'onde réfléchie : A2 = ra  exp(jj) ; Nombre complexe associé à l'onde résultante : A1 + A2 = a + ra  exp(jj) ; A =a(1+r exp(jj)). En déduire que l’intensité lumineuse en M s’écrit  : I = Imax (1+r2+2r cosj) / (1+r)2. Pour une onde monochromatique plane, l'intensité est proportionnelle au  carré du module de l'amplitude complexe de l'onde : A =a (1+ r ( cos j + j sin j)) |A | =I = a2 [ (1+r cos j)2 + ( r sin j)2] =a2[1 + 2r cos j + r2 cos2j + r2 sin2j ]  ; I = a2 (1+r2+2r cosj ) ; L'intensité est maximale si   cosj =1 ; Imax = a2 (1+r)2. Par suite I = Imax (1+r2+2r cosj) / (1+r)2. Soit Imin l’intensité minimale. Exprimer le contraste C défini par la relation : C = (Imax -Imin) / ( Imax +Imin ) L'intensité est minimale si  cosj =0 ; Imin  = a2 (1+r2) ; Imax = a2 (1+r)2.  Imax -Imin= 2 a2r ; Imax +Imin =2a2 (1+ r + r2) ; C = r / (1+ r + r2) Calculer sa valeur sachant que r=0,50. C =0,5 / (1 +0,5 +0,25) =0,286 ~0,29.

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