Satellite, pendule, cuve à ondes, concours EPF 2009.

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Satellite Isys. Constante de gravitation G ; masse de la terre MT ; rayon de la terre RT ; altitude du satellite h ; masse du satellite m. Exprimer vectoriellement la force exercée par la terre sur Isys ( supposé ponctuel). Représenter cette force sur un schéma. Le satellite décrit une orbite circulaire dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. En appliquant la seconde loi de Newton, établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite. Le satellite est soumis à la seule force de gravitation exercée par la terre. Montrer que le mouvement circulaire est uniforme. La force de gravitation, perpendiculaire à la vitesse du satellite, ne travaille pas. D'après le théorème de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique du satellite reste donc constante. La valeur de la vitesse du satellite étant constante, le mouvement est uniforme. Exprimer la vitesse du satellite en fonction de MT, RT, G et h. Qu'appelle t-on satellite géostationnaire ? Faire un schéma des trajectoires possibles de ce type de satellite.   Un satellite géostationnaire est un satellite qui a une position fixe par rapport au référentiel lié à la terre ( il reste en permanence à la verticale d’un même point du sol) Pour être géostationnaire le satellite doit avoir: * une trajectoire circulaire de centre O, centre de la terre * pour période de révolution celle de la terre *et de plus il doit tourner dans le même sens que terre avec le même axe de rotation : donc le plan de sa trajectoire est perpendiculaire à l’axe de rotation de la terre et il contient le point O : le plan de la trajectoire est obligatoirement équatorial. Seule la figure 1 convient. Quelle est la période du mouvement en fonction de MT, RT, G et h ?  Le satellite décrit une circonférence de rayon RT+h à la vitesse v durant une période T : 2p(RT+h) = v T Elever au carré : 4p2(RT+h)2 = v2 T2 remplacer v2 par GMT/(RT+h) : 4p2(RT+h)3 =GMTT2  T2 = 4p2(RT+h)3 /(GMT) ; T = [4p2(RT+h)3 /(GMT)]½. Enoncer la troisième loi de Kepler appliquée au mouvement circulaire. Le carré de la période TS de révolution est proportionnelle au cube du rayon RS de l'orbite circulaire. T2S = 4p2 /(GMT ) R3S.  Pendule. Un pendule est constitué d'un solide S ponctuel de masse M, attaché  à un fil inextensible de longueur OG = L. Ce pendule est placé dans le champ de pesanteur. On l'écarte de sa position d'équiibre d'un angle a0. On le lance alors avec une vitesse initiale v0. g = 10 m s-2. Les grandeurs du texte sont exprimées dans le système internationnal. Donner l'expression de l'énergie cinétique du solide S à une date t. Ecrire l'énergie mécanique du solide  à une date t, l'énergie potentielle s'exprimant par Ep=MgL(1-cos a(t)). Ec(t) = ½Mv2 ; l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. EM = Ec(t) + Ep(t) = ½Mv2 +MgL(1-cos a(t)) En supposant que le système n'admet aucune dissipation d'énergie, déterminer l'expression de la vitesse de la masse pour la position a(t). Energie mécanique initiale : ½Mv02 +MgL(1-cos a0) La conservation de l'énergie mécanique s'écrit : ½Mv2 +MgL(1-cos a(t)) = ½Mv02 +MgL(1-cos a0) v2 +2gL(1-cos a(t)) = v02 +2gL(1-cos a0) v2 -2gLcos a(t) = v02 -2gL-cos a0. v2 = v02 +2gL(cos a(t)-cos a0) ;  v = [v02 +2gL(cos a(t)-cos a0)]½. Parmi les propositions ci-dessous, déterminer par analyse dimensionnelle, celles qui sont utilisables pour calculer la période. 2 p est sans dimension ; g : accélération  = longueur / temps2 ; [g] = L T-2 ; [g /L ]= T-2 ; [g /L ]½= T-1 , c'est à dire l'inverse d'un temps : la première ne convient pas, et la 4ème convient. T = 2 p(L/g)½. [g /L2 ]= L-1 T-2 ; ce n'est pas la dimention d'une durée au carré : la seconde ne convient pas. [M/L] = M L-1 ; ce n'est pas la dimention d'une durée : la 3ème ne convient pas. [L2 /g]= L2  L-1 T2 = ce n'est pas la dimention d'une durée au carré : la 5ème ne convient pas. Déterminer à partir de la figure ci-dessus la période T des oscillations. En déduire la longueur du fil. T2 = 4 p2 L/g ; L = T2 g / ( 4 p2 ) ~ 4*10 / (4*10) = 1 m. La cuve à ondes. On génère des ondes grâce à un vibreur placé à la surface de l'eau. Vues de dessus, les crètes des vagues donnent des rides brillantes et les creux des rides sombres. On dispose au fond de la cuve une plaque de plexisglass : cela sépare la cuve en deux zones de profondeursh et h'. Définir la longueur d'onde l de l'onde. La longueur d'onde, ou période spatiale, est la distance parcourue par le front d'onde en une période à la célérité v. Quelle relation y a t-il entre la longueur d'onde l, la fréquence f et la célérité v ? l = v / f. longueur d'onde en mètre, célérité en m s-1 et fréquence en hertz. On photographie la cuve de dessus ( photo 1). Sachant que le vibreur oscille  à la fréquence f = 10 Hz et que la photo est à l'échelle 1/5, mesurer la longueur d'onde l dans la zone de profondeur h puis en déduire  la valeur de la célérité de l'onde. l1 = 0,75 *5 = 3,75 cm = 3,75 10-2 m ; v1 = l1 f = 3,75 10-2 *10 = 0,375 m ~0,38 m s-1. Reprendre les mêmes questions dans la zone de profondeur h'. l2 = 0,5 *5 = 2,55 cm = 2,5 10-2 m ; v2 = l2 f = 2,5 10-2 *10 = 0,25 m ~0,25 m s-1. La célérité de l'onde dépend-elle de la profondeur ? La fréquence est constante ; longueur d'onde et célérité dépendent du milieu, en particulier de la profondeur. On propose un modèle dans lequel la célérité ne dépend que de l'accélération de la pesanteur g et de h. Par analyse dimensionnelle, trouver l'expression de v à un coeficient multiplicateur k près, sans dimension.  [v] = L T-1 ; [h] = L ; [g] = L T-2 ; [h g] = L2 T-2 ; [h g]½ = L T-1 ; v = k (g h)½. Un calcul plus complet donne k=1 ; en déduire les valeurs numériques des profondeurs h et h' pour g = 9,81 m s-2. v2 = gh ; h = v12 / g =0,382 / 9,81 =0,0147 ~1,5 cm. h' = v22 / g =0,252 / 9,81 =0,0064 ~6,4 mm. On déplace la plaque ( photo 2). Quel phénomène observe t-on ? L'onde change de milieu et sa direction de propagation change : il s'agit de la réfraction.

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