Un
service au tennis, trajectoire, énergie bac S Amérique du
Sud 2009.
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Un terrain de tennis est un rectangle de
longueur 23,8 m
et de largeur 8,23 m. Il est séparé en deux dans le sens de la largeur
par un
filet dont la hauteur est 0,920 m.
Lorsqu’un
joueur
effectue un service, il doit envoyer la balle dans une zone comprise
entre le
filet et une ligne située à 6,40 m du filet.
On étudie
un
service du joueur placé au point O.
Ce joueur
souhaite que la balle frappe le sol
en B tel que OB = L = 18,7 m.
Pour cela, il
lance la balle verticalement et la
frappe avec sa raquette en un point D situé sur la verticale de O à la
hauteur
H = 2,20 m.
La balle
part alors
de D avec une vitesse de valeur v0 = 126 km.h-1,
horizontale
comme le montre le schéma ci-dessous.
La balle de masse m = 58,0 g
sera considérée comme
ponctuelle et on considérera que l’action de l’air est négligeable.
L’étude du
mouvement sera faite dans le référentiel terrestre, galiléen, dans
lequel on
choisit un repère Oxyz comme l’indique le schéma ci-dessous :
Équations horaires paramétriques et
trajectoire.
Faire le
bilan des forces appliquées à
la balle pendant son mouvement entre D et B.
En
indiquer les caractéristiques (direction,
sens, grandeur) et l’expression.
Établir
l’expression du vecteur
accélération de la balle au cours de son mouvement.
La
résistance de l'air étant négligée ( la poussée d'Archimède étant
négligeable devant le poids), la balle n'est soumise qu'à son poids,
verticale, vers le bas, valeur mg.
On écrit la seconde loi de Newton :
Montrer que les
équations horaires
paramétriques du mouvement de la balle sont :
x(t) = v0t ; y(t) = -½gt2+ H ; z(t) = 0.
Le vecteur vitesse est
une primitive du vecteur accélération. Les composantes du vecteur
vitesse initiale sont : ( v0 ; 0 ; 0) Les composantes
du vecteur vitesse sont donc : (v0 ; -gt ; 0)
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse ; les
composantes du vecteur position initiale sont : (0 ; H ; 0)
Les composantes du vecteur position sont donc : x(t) = v0t ; y(t) =
-½gt2+ H ; z(t) = 0.
Montrer que le
mouvement de la balle a
lieu dans un plan.
Le mouvement a lieu dans le plan défini par le vecteur accélération et
le vecteur vitesse initiale, c'est à dire dans le plan (Oxy).
La composante des trois vecteurs,
accélération, vitesse et position, suivant l'axe Oz est nulle.
En déduire l’équation littérale
de la trajectoire de la balle dans le plan xOy.
t = x(t) / v0. Repport
dans l'expression de y(t) : y = -½gx2 / v02 + H.
Qualité du
service.
On
prendra g = 9,81 m.s-2.
Sachant que la
distance OF = 12,2 m, la balle, supposée ponctuelle, passe-t-elle
au-dessus du
filet ?
yF = -½gxF2 / v02
+ H.
v0 = 126 km /h = 126
/ 3,6 m/s = 35,0 m/s ; H = 2,20 m ; xF = 12,2 m yF =-0,5*9,81*12,22
/ 352 +2,20 = 1,60 m. Cette valeur est supérieure à la
hauteur du filet ( 0,920 m) : la balle passe donc au dessus du filet. Montrer que le
service
sera considéré comme mauvais, c’est-à-dire que la balle frappera le sol
en un
point B’ tel que OB’ soit supérieur à OB.
yB'
= 0 ; -½gxB'2 / v02
+ H ; xB'2 = 2Hv02 / g ; xB'
= v0 (2H/g)½ = 35 (2*2,20 /9,81)½
=23,44 ~23,4 m.
Cette valeur est supérieure à OB( 18,7 m) ; le service est donc
mauvais.
En
réalité, la
balle tombe en B. Quel est le paramètre, non pris en compte dans ce
problème,
qui peut expliquer cette différence ? xB' = v0
(2H/g)½ ;
Si xB' est plus courte que la valeur théorique, la valeur de
l'accélération de la balle n'est pas égale à g. Il faut prendre en
compte les frottements sur les couches d'air.
Énergie de
la
balle.
Donner
l’expression
littérale de la variation d’énergie potentielle de la balle entre
l’instant où
elle quitte la raquette et l’instant où elle touche le sol. Calculer sa
valeur. L'origine
de l'énergie potentielle de pesanteur est choisie au sol.
L'énergie potentielle de pesanteur finale est donc nulle.
L'énergie potentielle de pesanteur initiale est : mgH.
Variation de l'énergie potentielle de pesanteur : DEp = 0-mgH =-mgH ;
m = 5,8 10-2 kg ; H = 2,20 m ; g = 9,81 m s-2.
DEp = - 5,8 10-2 *9,81*2,20 = -1,25 J.
Quelle est l’expression
de l’énergie cinétique de la balle lorsqu’elle part de D ?
Indiquer
les unités
dans le système international.
Ec = ½mv02.
masse en kg, énergie en joule (J) et vitesse en m/s.
Écrire les expressions
de l’énergie mécanique de la balle en D (EmD) et de la balle
en B’
(EmB’).
L'énergie mécanique est la somme des énergie cinétique et potentielle :
EMD = mgH + ½mv02 ; EMB' = 0 + ½mvB'2 ;
Quelle est la relation entre EmD
et EmB’ ? Justifier.
Entre D et B' seul le poids travaille ( on néglige la résistance de
l'air ): le poids étant une force conservative, l'énergie mécanique est
constante entre D et B'.
Déduire l’expression de la
vitesse vB’ de la balle
lorsqu’elle frappe le sol.
