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II
est expressément demandé de respecter les notations de l’énoncé : V
désigne le
volume, v désigne la valeur de la vitesse.
Données
et opérations utiles à la résolution de l’exercice : Valeur prise pour l’accélération de la pesanteur : g = 10
m.s-2 ;masse
volumique de l’eau : r1
= 1000 kg.m-3 ;masse volumique de l’air
: r2
= 1,3 kg.m-3 ; 3,24 × 2,10 = 6,80 ; 3,24 × 2,16 = 7,00 ; 1 / 1,3 = 0,77.
On se propose
d’étudier le mouvement d’une goutte de pluie dans deux
cas simples.
1. TEMPS CALME.
On étudie le mouvement d’une goutte d’eau en chute verticale dans
l’air,
en l’absence de tout vent. La force de frottement subie par la goutte a
pour
expression ,
où vGdésigne le vecteur
vitesse du centre d’inertie de la goutte, et K est une constante.
La goutte de pluie considérée a une masse m, un volume V et une masse
volumique r1
constante.
On désigne par r2
la masse volumique de l’air.
Quelle est
l’expression littérale de la valeur FA de la poussée
d’Archimède
qui agit sur la goutte.
La poussée est égal au poids du volume de fluide ( l'air) déplacé. FA
= Vr2g. On note P la valeur du poids de la goutte.
Etablir l'expression du rapport P / FA en fonction des
masses volumiques r1
et r2. Montrer
que FA est négligeable devant P.
P = mg et m = Vr1 d'où P = Vr1g.
Par suite P / FA = r1
/ r2=
1000/1,3 ~1000*0,77 = 7,7 102.
Le poids est environ 800 fois supérieur à la poussée d'Archimède ;
celle-ci peut être négligée devant le poids.
Dans la suite de
l'exercice, on négligera la poussée d'Archimède.
L'axe vertical du repère d'étude étant orienté vers le bas, montrer que
l'équation différentielle du mouvement de chute de la goutte peut se
mettre sous la forme : dvGdt = AvG + B où A et B sont
deux constantes que l'on exprimera en fonction de K, m et g. La goutte est soumise à son poids et à la
force de frottement. Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe
vertical orienté vers le bas.
Quelles sont les
unités de A et de B dans le système internationnal d'unité ? B a la
dimension d'une accélération ( m s-2).
A vG a la dimension d'une accélération et vG
celle d'une vitesse ( m s-1). A est donc l'inverse d'un
temps ( s-1). On
donne A = -3,24 10-1 SI et B = 10 SI.
On a calculé quelques valeurs de la vitesse de la goutte à différentes
dates, en utilisant la méthode d'Euler. Voici un extrait du tableau
affiché par le tableur utilisé :
t
(s)
vG
( m/s)
3,0
19,6
3,2
20,3
3,4
21,0
...
...
la méthode d'Euler permet d'estimer par le calcul la valeur de la
vitesse de la goutte en fonction du temps en utilisant deux relations :
dvG(ti) / dt = AvG(ti) +B
et vG(ti+1)= vG(ti)+ dvG(ti)
/ dt Dt, où Dt est le pas d'itération.
En utilisant
l'équation différentielle du mouvement et les données du tableau,
calculer la valeur de l'accélération à l'instant de date t = 3,4 s.
a(ti) =dvG(ti) / dt = AvG(ti)
+B ; a(ti) =-0,324*21,0 +10 =3,2 m s-2. En
déduire par la méthode d'Euler, la valeur de la vitesse à l'instant de
date 3,6 s.
vG(ti+1)= vG(ti)+ dvG(ti)
/ dt Dt ; vG(3,6)
= vG(3,4) +a(3,4)*0,2 = 21,0+3,2*0,2 =21,6 m/s. Comment
doit-on choisir le pas pour que les valeurs calculées par la méthode
d'Euler soient les plus proches possibles des valeurs réelles ?
Le pas doit être petit, de l'ordre du centième de la durée du régime
transitoire.
La courbe représentant l'évolution de la valeur de la vitesse
au cours du temps est donnée ci-dessous. Comment
évolue l'accélération de la goutte d'eau ? Justifier.
L'accélération est égale au coefficient directeur de la
tangente à
la courbe à une date donnée. Or ces tangentes sont de moins en moins
inclinées sur l'horizontale. L'accélération diminue au cours du temps. Quelle
est la
valeur de l'accélération lorsque le régime permanent est atteint ?
Comparer la valeur des forces qui agissent sur la goutte d'eau.
En régime permanent, le mouvement est rectiligne unforme ( accélération
nulle). D'après le principe d'inertie le poids et la force de
frottement sont opposées ; ces forces ont la même valeur. Etablir
l'expression littérale de la vitesse limite atteinte par la goutte d'eau.
mg = K vG limite ; vG limite = mg/ K.
Temps venteux. La
poussée d'Archimède et la force de frottement s'exerçant sur la goutte
seront négligés devant le poids. Alors que la goutte d'eau est en chute
verticale à la vitesse v, elle subit brutalement une rafale de vent, de
très courte durée, qui lui communique à l'instant t=0, une vitesse
horizontale, de valeur v2. Le vecteur vitesse initiale v0
est représenté sur le schéma ci-dessous :
A
partir de la
seconde loi de Newton, établir les équations horaires du mouvement de
la goutte dans un référentiel terrestre muni du repère (Oxy ) tel que
le point O coïncide avec la position de la goutte à la date t=0. La goutte n'est soumise
qu'à son poids ; il s'agit d'une chute libre avec vitesse initiale.
La vitesse est une
primitive de l'accélération : Suivant Ox : vx
= v2 ; suivant Oy : vy
=gt + v.
La position est une primitive de la vitesse ; la position initiale
étant l'origine du repère, la constante d'intégration est nulle.
x = v2
t ; y = ½gt2
+vt. Quelle
est l'équation de la trajectoire décrite par la goutte d'eau dans le
repère (Oxy ). Préciser sa nature. t = x / v2 ; repport dans l'expression de y. C'est l'équation d'une
parabole.
,
où vG désigne le vecteur
vitesse du centre d’inertie de la goutte, et K est une constante.
