Mathématiques, QCM, Concours Geipi  2026.

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 Calculs.
I.A.
I.B.
I.C. Pour tout entier naturel non nul :

I.D.

Exercice II.
II.A. Pour tout rél x, -(6x+5)(6x-7)+36x2-25 = -(6x+5)(6x-7)+(6x+5)(6x-5)=(6x+5)(7-6x+6x-5)=2 (6x+5).

II.B. L’ensemble des solutions de l’inéquation -2exp(2x+1) < -2e5 est :
exp(2x+1) > e5
exp(2x+1) > e5 ;
2x+1 > 5 ; 2x >4 ; x > 2.

II-C. D-Pour tout réel x>0, ln(x3+x2)=ln(x2)×ln(x3) .
ln(x3+x2)=ln(x2(x+1))=ln(x2) + ln(x+1)= 2 ln(x) +ln(x+1).

II-E-Pour tout réel  a et b :


Exercice III
Soit a un nombre réel. On considère l’équation (E)∶x2=a2, d’inconnue réelle x.
 A. Si le nombre réel a est strictement négatif, alors l’équation (E) n’a pas de solution. Faux.
a2 >0 , l'équation (E) admet 2 solutions x = a et x = -a.
B. Pour tout nombre réel a, l’équation (E) admet a comme unique solution. Faux.
Pour tout réel a non nul, l'équation (E) admet deux solutions a et -a.
III-C. Il existe une unique valeur de a pour laquelle l’équation (E) admet une unique solution. Vrai.
Si a =0, l'équation (E) admet une unique solution.

Deuxième partie – Fonctions à valeurs réelles
Exercice IV
Soient f une fonction continue sur R et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
IV-A- Si Cf admet en −∞ une asymptote d’équation y= −1, alors l’équation f(x)= −1 n’a pas de solution. Faux.
Dans le cas ou f(x) = (-x2+x) / (x2+1) :
f est continue et en -oo admet une asymptote d'équation y = -1
De plus f(-1) = -1.
IV-B- Si Cf admet en −∞ une asymptote d’équation y= −1, alors la limite de f(x) en -oo est -1. Vrai.
C'est la définition d'une asymptote horizontale.
IV-C-Si Cf admet en −∞ une asymptote d’équation y= −1, alors la limite de f(x) en -1 est -oo. Faux.
f(-1)= (-1-1) / (1+1) = -1.

Exercice V
Soient f la fonction définie pour tout réel x différent de 1 par f(x)= 1 /(1−x)2 et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
V-A- Cf admet une asymptote d’équation x=0. Faux.
f est définie et continue en 0 : donc f n'admet pas d'asymptote d'équation x = 0.
V-B- f est croissante sur ]1 ; +∞[.
f(2) = 1 ; f(3) = 0,25 : 2 < 3 et f(2) > f(3).
V-C- La fonction F définie par F(x)= −1 / (1-x) est une primitive de f sur ]1 ; +∞[. Faux.
F '(x) = -1/(x-1)2= -f(x)

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 Troisième partie – Suites numériques
Exercice VI
Soit (un) avec n entier naturel la suite définie pour tout entier naturel n par un=(−1)n.
VI-A- (un) est bornée. Vrai.
(-1)n appartient à l'intervalle [-1 ; +1]; cela signifie que (un) est bornée par -1 et +1.
VI-B- (un) est convergente. Faux.
Si n est pair, un = 1 et si n est impaire, un = -1. La suite ne converge pas.
VI-C- (un) est décroissante. Faux.
u1 = -1 ; u2 = 1.
VI-D- (un/ un+1) est constante Vrai.
un/ un+1= (-1)n / (-1)n+1 = -1.

Quatrième partie – Probabilités
Exercice VII
VII-A- On effectue quatre lancers d’une pièce équilibrée. La probabilité d’obtenir une seule fois face est égale à 3/4. Faux.
On répète 4 fois de manière indépendante l'expérience aléatoire dont l'issue ( succès)  a pour probabilité 0,5.
Soit x la variable aléatoire correspondant au nombre de fois d'obtenir 4 suit la loi binomiale de paramètre n = 4 et p = 0,5.
P(x=1) = 4 x 0,5 x0,53 = 0,25.

Exercice VIII
VIII-A- On tire au hasard successivement et sans remise deux cartes dans un jeu de 32 cartes comportant 16 cartes rouges et 16 cartes noires. Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de cartes noires parmi les deux tirées, alors X suit une loi binomiale de paramètres 2 et 12. Faux. Les tirages étant effectués sans remise, les expériences sont différentes.

Cinquième partie – Géométrie dans le plan
Exercice IX
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points A(1 ; -1), B(-2 ; 5) et C (3 ; 5).
IX-A- Une équation de la droite (AB ) est 2x+y−1=0. Vrai.
2xA+yA−1= 2-1-1=0, donc A appartient à cette droite.
2xB+yB−1= -4+5-1=0, donc B appartient à cette droite.
IX-B- Une équation de la droite D perpendiculaire à (AB ) passant par C est x-2y+7=0. Vrai.
Coordonnées d'un vecteur directeur de  la droite (AB) : -2-1 ; 5-(-1) soit (-3 ; 6).
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite D : 3 ; -6.
Equation  de la droite D : 3x-6y + a = 0.
C(3 ; 5) appartient à la droite (D) ; 3xC-6yC + a = 0.
3*3-6*5+a=0 ; a = 21.
3x-6y +21= 0 ou x-2y+7=0

VII-C- Le point d’intersection I de la droite (AB ) avec la droite D a pour coordonnées I(−1 ;3). Vrai.
Système à résoudre : 2x+y−1=0 et  x-2y+7=0.
x = -7+2y ; 2(-7+2y)+y-1 =0  ; -15+5y=0 ; y = 3.
Par suite x = -7+2*3=-1.
Coordonnées du point I( -1 ; 3).



  
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